Elipsoide

Imagem tridimensional de um elipsoide

Em matemática, um Predefinição:AO-pAO é uma superfície cuja equação num sistema de coordenadas cartesianas x-y-z é

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsoide. Se dois dos números são iguais, o elipsoide é um esferoide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.

Supondo a ≥ b ≥ c, então:

• a ≠ b ≠ c : o elipsoide é escaleno
• c = 0 : o elipsoide é plano (duas elipses em simetria)
• b = c : esferoide em forma de charuto
• a = b : esferoide em forma de comprimido
• a = b = c : esfera

Os esferoides resultam da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos.

Volume

O volume de um elipsoide é dado por:

$\frac{4}{3}\pi abc$

Área da superfície

A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:

$2\pi (c^2+\frac{b{c}^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(\theta ,m)+b\sqrt{a^2-c^2}E(\theta ,m))$

em que

$m=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}$

$\theta =\arcsin \left(e\right)$

$e=\sqrt{1-\frac{c^2}{a^2}}$

e $F(\theta ,m)$ e $E(\theta ,m)$ são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.

Fórmulas aproximadas:

Elipsoide plano: $=2\pi \left(ab\right)$

Se $b=c$: $\approx 2\pi (c^2+ac\frac{\arcsin \left(e\right)}{e})$

Se $a=b$: $\approx 2\pi (a^2+c^2\frac{\mathrm{arctanh}\left(e\right)}{e})$

Se o elipsoide é escaleno: $\approx 4\pi {\left(\frac{a^p{b}^p+a^p{c}^p+b^p{c}^p}{3}\right)}^{1/p}$

onde p ≈ 1,6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1 061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1,6 resulta bem para praticamente todos os elipsoides esferoides, com erro relativo máximo de 1 178% (fórmula de David W. Cantrell).

Transformações lineares

Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsoide

A intersecção de um elipsoide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.

Aplicação em cartografia

Nas ciências cartográficas, os elipsoides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos polos, ao contrário das esferas. As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.

Ver também

• Elipse
• Paraboloide
• Hiperboloide
• Elipsoide de referência
• Geoide
• Lugar geométrico

Ligações externas

• Applet Interativo 3D em Java do elipsoide