Hiperboloide

Hiperboloide de uma folha

superfície cônica

Hiperboloide de duas folhas

Na geometria, um hiperboloide de revolução, às vezes chamado de hiperboloide circular, é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus principais eixos. Um hiperboloide é uma superfície que pode ser obtida a partir de um hiperboloide de revolução, deformando-o por meio de escalonamentos direcionais, ou mais geralmente, de uma transformação afim.

Um hiperboloide é uma superfície quádrica, que é uma superfície que pode ser definida como o conjunto zero de um polinômio de grau dois em três variáveis. Entre as superfícies quádricas, um hiperboloide é caracterizado por não ser um cone ou um cilindro, ter um centro de simetria e interceptar muitos planos em hipérboles. Um hiperboloide também possui três eixos perpendiculares de simetria emparelhados e três planos perpendiculares de simetria emparelhados.

Dado um hiperboloide, se alguém escolhe um sistema de coordenadas cartesianas cujos eixos são eixos de simetria do hiperboloide, e origem é o centro de simetria do hiperboloide, então o hiperboloide pode ser definido por uma das duas equações seguintes:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$

ou

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.$

Ambas as superfícies são assintóticas ao cone de equação

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0.$

Só se obtém um hiperboloide de revolução se e somente se $a^2=b^2.$ Caso contrário, os eixos são exclusivamente definidos (até a troca do eixo x e do eixo y.)

Existem dois tipos de hiperboloides. No primeiro caso ($+1$ no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de uma folha, também chamado hiperboloide hiperbólico. É uma superfície conectada, que tem uma Curvatura Gaussiana negativa em cada ponto. Isto implica que o plano tangente em qualquer ponto intercepta o hiperboloide em duas retas e, assim, que o hiperboloide de uma folha é uma superfície duplamente regrada.

No segundo caso ($-1$ no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de duas folhas, também chamado hiperboloide elíptico. A superfície tem dois componentes conectados e uma curvatura gaussiana positiva em cada ponto. Assim, a superfície é convexa no sentido de que o plano tangente em todos os pontos intercepta a superfície somente nesse ponto.

Representações paramétricas

Animação de um hiperboloide de revolução

As coordenadas cartesianas para os hiperboloides podem ser definidas, similares às coordenadas esféricas, mantendo o ângulo azimutal $\theta \in [0,2\pi )$, mas mudando a inclinação $v$ para funções trigonométricas hiperbólicas:

Hiperboloide de uma superfície: $v\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

$\begin{array}{cc}x& =a\cosh v\cos \theta \\ y& =b\cosh v\mathrm{sen}\theta \\ z& =c\text{senh}v\end{array}$

Hiperboloide de duas superfícies: $v\in [0,\mathrm{\infty })$

$\begin{array}{cc}x& =a\text{senh}v\cos \theta \\ y& =b\text{senh}v\mathrm{sen}\theta \\ z& =\pm c\cosh v\end{array}$

hiperboloide de uma folha: geração por uma hipérbole (topo) e retas (fundo: vermelho ou azul)

hiperboloide de uma folha: seções planas

Propriedades de um hiperboloide de uma folha

Retas na superfície

• Um hiperboloide de uma folha contém dois feixes de retas. É uma superfície duplamente regrada.

Se o hiperboloide tem a equação $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ então as retas

$g_{\alpha }^{\pm }:\overrightarrow{x}(t)=\left(\begin{array}{c}a\cos \alpha \\ b\mathrm{sen}\alpha \\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-a\mathrm{sen}\alpha \\ b\cos \alpha \\ \pm c\end{array}\right),t\in ℝ,0\le \alpha \le 2\pi$

estão contidas na superfície.

No caso de $a=b$ o hiperboloide é uma superfície de revolução e pode ser gerado pela rotação de uma das duas retas $g_0^{+}$ ou $g_0^{-}$, que são inclinados para o eixo de rotação (ver imagem). A geração mais comum de um hiperboloide de revolução é a rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo semi-secundário (ver imagem).

Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a um paraboloide hiperbólico.

Seções planas

Por simplicidade, as seções planas da unidade hiperboloide com equação $H_1:x^2+y^2-z^2=1$ são considerados. Como um hiperboloide em posição geral é uma imagem afim da unidade hiperboloide, o resultado também se aplica ao caso geral.

• Um plano com uma inclinação menor que 1 (1 é a inclinação das linhas no hiperboloide) intercepta $H_1$ numa elipse,
• Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem intercepta $H_1$ em um par de linhas paralelas,
• Um plano com uma inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta $H_1$ em uma parábola,
• Um plano tangencial intercepta $H_1$ em um par de linhas de concorrentes,
• Um plano não tangencial com uma inclinação maior que 1 intersecta $H_1$ em uma hipérbole.

Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de uma folha contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.

hiperboloide de duas folhas: geração pela rotação de uma hipérbole

hiperboloide de duas folhas: seções planas

Propriedades de um hiperboloide de duas folhas

O hiperboloide de duas folhas não contém retas. A discussão de seções planas pode ser realizada para a unidade hiperboloide de duas folhas com equação

$H_2:x^2+y^2-z^2=-1$.

que pode ser gerado por uma hipérbole rotativa em torno de um de seus eixos (aquele que corta a hipérbole)

• Um plano com declive menor que 1 (1 é o declive das assíntotas da hipérbole geradora) intercepta $H_2$ ou em uma elipse ou em um ponto ou não intercepta,
• Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem (ponto médio do hiperboloide) não cruza $H_2$ ,
• Um plano com inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta $H_2$ em uma parábola,
• Um plano com inclinação maior que 1 intercepta $H_2$ em uma hipérbole.

Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de duas folhas contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.

Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a uma esfera.

Representação paramétrica comum

A seguinte representação paramétrica inclui hiperboloides de uma folha, duas folhas e seu cone de limite comum, cada um com o eixo $z$ como o eixo de simetria:

$\overrightarrow{x}(s,t)=\left(\begin{array}{c}a\sqrt{s^2+d}\cos t\\ b\sqrt{s^2+d}\mathrm{sen}t\\ cs\end{array}\right)$

• Para $d>0$ obtém-se um hiperboloide de uma folha,
• Para $d<0$ um hiperboloide de duas folhas e
• Para $d=0$ um cone duplo.

Pode-se obter uma representação paramétrica de um hiperboloide com um eixo de coordenadas diferente como o eixo de simetria, arrastando a posição do termo $cs$ para o componente apropriado na equação acima.

Simetrias de um hiperboloide

Os hiperboloides com equações $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$ são

• ponto simétrico à origem,
• simétrica para os planos de coordenadas e
• simétrica rotacional ao eixo z e simétrica a qualquer plano que contenha o eixo z, em caso de $a=b$ (hiperboloide de revolução).

Na curvatura de um hiperboloide

A curvatura gaussiana de um hiperboloide de uma folha é negativa, a de um hiperboloide de duas folhas é positiva. Apesar de sua curvatura positiva, o hiperboloide de duas folhas com outra métrica adequadamente escolhida também pode ser usado como modelo para geometria hiperbólica.

Equações generalizadas

Mais geralmente, um hiperbolóide arbitrariamente orientado, centrado em $𝐯$, é definido pela equação

$(𝐱\mathbf{-}𝐯{)}^{\mathrm{T}}A(𝐱\mathbf{-}𝐯)=1,$

onde $A$ é uma matriz e $𝐱$, $𝐯$ são vetores.

Os autovetores de $A$ definem as direções principais do hiperboloide e os autovalores de $A$ são os recíprocos dos quadrados dos semi-eixos: $1/a^2$, $1/b^2$ e $1/c^2$. O hiperboloide de uma folha tem dois autovalores positivos e um autovalor negativo. O hiperboloide de duas folhas tem um autovalor positivo e dois autovalores negativos.

Em mais de três dimensões

Hiperboloides imaginários são frequentemente encontrados em matemática de dimensões superiores. Por exemplo, em um espaço pseudo-euclidiano, tem-se o uso de uma forma quadrática:

$q(x)=(x_1^2+\cdots +x_k^2)-(x_{k+1}^2+\cdots +x_n^2),k<n.$

Quando $c$ é qualquer constante, então a parte do espaço dada por

$\{x:q(x)=c\}$

é chamado de hiperboloide. O caso degenerado corresponde a $c=0$.

Como exemplo, considere a seguinte passagem:

... os vetores de velocidade sempre se encontram em uma superfície que Minkowski chama de hiperboloide quadridimensional, expressa em termos de coordenadas puramente reais Predefinição:Math, sua equação é Predefinição:Math, análogo ao hiperboloide Predefinição:Math de espaço tridimensional.

No entanto, o termo quasi-esfera também é usado neste contexto, uma vez que a esfera e o hiperboloide têm alguma semelhança.

Estruturas hiperboloides

Hiperboloides de uma folha são usados na construção, com estruturas chamadas estruturas hiperboloides. Um hiperboloide é uma superfície duplamente regrada; Assim, ele pode ser construído com vigas retas de aço, produzindo uma estrutura forte a um custo menor do que outros métodos. Exemplos incluem torres de resfriamento, especialmente de usinas elétricas, e muitas outras estruturas.

• Galeria de estruturas hiperboloides de uma folha
• 
  O Farol Adziogol, Ucrânia, 1911.
• 
  Torre Kobe Port, Japão, 1963.
• 
  O Planetário James S. McDonnell de St. Louis Science Center, St. Louis, Missouri, 1963.
• 
  Torre de controle do Aeroporto Internacional de Newcastle, Newcastle upon Tyne, Inglaterra, 1967.
• 
  Torre de transmissão de Ještěd, Tchéquia, 1968.
• 
  Catedral de Brasília, Brasil, 1970.
• 
  Torre de água hiperboloide com tanque toroidal, Ciechanów, Polônia, 1972.
• 
  Roy Thomson Hall, Toronto, Canadá, 1982.
• 
  A torre de resfriamento THTR-300 para o reator nuclear de tório, agora desativado, Hamm-Uentrop, Alemanha, 1983.
• 
  A Corporation Street Bridge, Manchester, Inglaterra, 1999.
• 
  A torre de observação de Killesberg, Stuttgart, Alemanha, 2001.
• 
  BMW Welt, (BMW World), museu e local de evento, Munique, Alemanha, 2007.
• 
  A Torre de Cantão, China, 2010.
• 
  The Essarts-le-Roi water tower, France.

Relação com a esfera

Em 1853, William Rowan Hamilton publicou suas Lectures on Quaternions, que incluíam a apresentação de biquaternions. A passagem a seguir da página 673 mostra como Hamilton usa álgebra de biquaternion e vetores de quaternions para produzir hiperboloides a partir da equação de uma esfera:

... a equação da esfera unitária Predefinição:Math, e mude o vetor Predefinição:Math para uma forma de bivetor, como Predefinição:Math. A equação da esfera então se divide no sistema das duas seguintes,

Predefinição:Math, Predefinição:Math;

e sugere nossa consideração Predefinição:Math e Predefinição:Math como dois vetores reais e retangulares, de modo que

Predefinição:Math.

Por isso, é fácil inferir que, se assumirmos Predefinição:Math, onde Predefinição:Math é um vetor em uma determinada posição, o novo vetor real Predefinição:Math terminará na superfície de um hiperboloide de duas folhas e equilátero; e que, se, por outro lado, assumirmos Predefinição:Math, então o locus da extremidade do vetor real Predefinição:Math será um hiperboloide equilátero, mas de uma folha. O estudo desses dois hiperboloides é, portanto, assim conectado de maneira muito simples, através de biquaternions, com o estudo da esfera.; ...

Nesta passagem Predefinição:Math é o operador que dá a parte escalar de um quaternion, e Predefinição:Math é o "tensor", agora chamado de norma, de um quaternion.

Uma visão moderna da unificação da esfera e do hiperboloide usa a ideia de uma seção cônica como uma fatia de uma forma quadrática. Em vez de uma superfície cônica, uma exige hiper-superfícies cônicas no espaço de quatro dimensões com pontos Predefinição:Math determinado por formas quadráticas. Primeiro, considere a hiper-superfície cônica

$P=\{p:w^2=x^2+y^2+z^2\}$ e

$H_r=\{p:w=r\},$ que é um hiperplano.

Então $P\cap H_r$ é a esfera com raio Predefinição:Math. Por outro lado, a hiper-superfície cônica

$Q=\{p:w^2+z^2=x^2+y^2\}$ prevê que $Q\cap H_r$ é um hiperboloide.

Na teoria das formas quadráticas, uma unidade quasi-esfera é o subconjunto de um espaço quadrático Predefinição:Math consistindo em Predefinição:Math tal que a norma quadrática de Predefinição:Math é um.

Ver também

Ficheiro:Vyksa Shukhov tower.ogv

• Elipsoide
• Paraboloide

• Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie, Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometry, pp. 39–41 Cambridge University Press.
• H. S. M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, p. 130, John Wiley & Sons.

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld
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