Espaço conexo

De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Em topologia, Predefinição:PBPE é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.Predefinição:Sfn

Definição

Uma cisão de um conjunto é a decomposição $X=A\cup B$ em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que $A=X$ e $B=\mathrm{\varnothing }$. Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.Predefinição:Sfn

Equivalências

Os subconjuntos $\mathrm{\varnothing }$ e $X$ são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de $X$. Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então $X$ é conexo. Por outro lado, se existe $A$ não-vazio aberto e fechado em $X$, então $X$ é desconexo.Predefinição:Sfn

Exemplos

• $ℝ$ e $ℂ$ são conexos, enquanto $\mathbb{N},$ $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$ são desconexos.
• Em $ℝ$, os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.Predefinição:Sfn
• $ℝ-\{0\}$ é desconexo pois possui a cisão não-trivial $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$.Predefinição:Sfn

Propriedades

• A imagem de um conexo por uma aplicação contínua é um conexo.Predefinição:Sfn
• Todo conjunto homeomorfo a um conexo é conexo.Predefinição:Sfn
• A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.Predefinição:Sfn
• O produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.Predefinição:Sfn
• O fecho de um conjunto conexo é conexo.Predefinição:Sfn

Componentes conexas

Mesmo que um conjunto $X$ não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.Predefinição:Sfn

A componente conexa $C_x$ é o maior subconjunto conexo que contém $x\in X$.Predefinição:Sfn Para quaisquer dois pontos de $X$, suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.Predefinição:Sfn

Por exemplo, para $ℝ-\{0\}$, a componente conexa de $-1$ é $(-\mathrm{\infty },0)$ e a componente conexa de $1$ é $(0,+\mathrm{\infty })$. No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.Predefinição:Sfn

Propriedades

Toda componente conexa de $X$ é um conjunto fechado em $X$.Predefinição:Sfn

Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.Predefinição:Sfn Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.Predefinição:Sfn

Conexo por caminhos

Um espaço conexo por caminhos

Um espaço conexo que não é conexo por caminhos.

Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.Predefinição:Sfn

Um caminho num conjunto $X\subset {ℝ}^n$ é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de $X$. Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho $f$ tal que esses pontos estejam na imagem de $f$.Predefinição:Sfn Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.Predefinição:Sfn

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.Predefinição:Sfn Por exemplo, no ${ℝ}^2,$ o gráfico da função $f(x)=\text{sen}\frac{1}{x}$ para $0<x\le 1$ com a origem $(0,0)$ é conexo mas não é conexo por caminhos.Predefinição:Sfn

Propriedades

• A união de dois conjuntos conexos por caminhos, de interseção não-vazia, é conexa por caminhos.Predefinição:Carece de fontes
• A topologia produto de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.Predefinição:Carece de fontes
• Todo conjunto convexo é conexo por caminhos.Predefinição:Sfn
• No ${ℝ}^n$, um conjunto aberto é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.Predefinição:Sfn

Ver também

• Conexidade simples

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citation.