Homeomorfismo

Um homeomorfismo entre uma caneca e uma rosquinha

Um homeomorfismo é a noção principal de congruência em topologia,Predefinição:Sfn sendo o isomorfismo de espaços topológicos. A palavra homeomorfismo vem da união de duas palavras gregas: homoios (igual) e morphe (forma), ou seja "mesma forma"; o termo foi introduzido pelo matemático Henri Poincaré, em 1895.

Definição

Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e que a sua inversa seja contínua. Essa aplicação é chamada de homeomorfismo.Predefinição:Sfn

Na linguagem da teoria das categorias, um morfismo entre espaços topológicos é uma função contínua entre eles.

Um isomorfismo, chamado de homeomorfismo, portanto, é um morfismo que tem um morfismo inverso.

Um isomorfismo entre espaços topológicos é também conhecido como homeomorfismo bijetor, que a função bijetora que preserva a estrutura topológica envolvida.

Exemplos

Exemplos de espaços homeomorfos:

• No plano (${ℝ}^2$), um quadrado e uma circunferência são homeomorfos;
• Quaisquer duas curvas simples no espaço são homeomorfas;
• Uma caneca e uma rosquinha são homeomorfos;
• O domínio de uma função contínua e o seu gráfico — conjunto dos pontos $(x,f(x))$ — são homeomorfos, sendo o domínio um subconjunto de ${ℝ}^n$ e o contradomínio o ${ℝ}^m$Predefinição:Sfn
• Uma bola no ${ℝ}^n$ e uma bola no ${ℝ}^m$ só são homeomorfas se $n=m$.Predefinição:Sfn

Exemplos de homeomorfismos:

• Translações e homotetias de ${ℝ}^n$ em ${ℝ}^n$. Predefinição:Sfn

Exemplos de aplicações não-homeomorfas:

• Não basta que a função seja contínua e invertível: a função $f:[0,2\pi )\to S^1$ definida por $f(x)=(\sin x,\cos x)$ não é um homeomorfismo.

Propriedades

• A aplicação composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo.Predefinição:Sfn

Resultados relevantes

• Sejam X compacto e Y Hausdorff. Dada uma função bijetiva e contínua $f:X\mapsto Y$, temos que $f$ é um homeomorfismo.

Outras noções de igualdade topológica

• Difeomorfismo
• Equivalência homotópica
• Conjectura de Poincaré

Bibliografia

• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citar livro