Fecho

Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

Definição

O fecho de um conjunto $X$, denotado por $\bar{X}$, é o conjunto formado pelos seus pontos aderentes.

Um conjunto é considerado fechado se é igual ao seu fecho. Ou seja, quando contém todos os seus pontos aderentes.Predefinição:Sfn

Propriedades

• O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
• O fecho de um conjunto X ($\bar{X}$) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e $X^{\prime }$ (=conjunto dos pontos aderentes): $\bar{X}=X\cup X^{\prime }$ . Por exemplo, se tomarmos o conjunto aberto $X=(0,3)$, então seu fecho será o conjunto fechado $\bar{X}=X\cup X^{\prime }=[0,3]$.

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

Exemplos

• O fecho do conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais é a reta $ℝ$. Também o fecho do conjunto $(ℝ-\mathbb{Q})$ dos números irracionais é $ℝ$. $\mathbb{Q}$ e $(ℝ-\mathbb{Q})$ não são conjuntos fechados.
• O fecho de uma bola aberta é uma bola fechada.Predefinição:Sfn

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro