Conjunto conexo

Conjunto conexo, em Teoria dos conjuntos numéricos, é o que não pode ser dividido em apenas dois subconjuntos fechados que não tenham nenhum ponto comum. Ou seja, podemos dizer que um espaço é conexo se pode passar de um ponto qualquer deste espaço para qualquer outro ponto distinto por um movimento contínuo, sem sair dele.

	Letras i e j minúsculas, com pontos em vermelho
Espaço conexo	Dois espaços desconexos (é impossível ir da letra propriamente dita até o ponto sem sair do espaço)

Definição

Mais formalmente podemos definir conjunto conexo da seguinte forma: Diz-se que um conjunto E em um espaço métrico X é conexo se não existem em X dois subconjuntos A e B abertos e disjuntos tais que $A\cap E\ne \mathrm{\varnothing }$, $B\cap E\ne \mathrm{\varnothing }$ e $E\subset A\cup B$.

Também pode-se definir conjunto desconexo, sendo este um conjunto E que satisfaz às seguintes condições:

• $E=E_1\cup E_2$ com $E_1$ e $E_2$ não vazios
• $\overline{E_1}\cap E_2=\mathrm{\varnothing }$
• $E_1\cap \overline{E_2}=\mathrm{\varnothing }$

Nesse caso um conjunto é dito conexo quando ele não é desconexo. Lembramos aqui que a notação $\overline{A}$ representa o fecho do conjunto A.

Faz sentido também falarmos de espaços conexos, sendo estes espaços que não são a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios, ou seja, um espaço é conexo se admite apenas cisão trivial.

Teoremas

Teorema 1

Dados dois conjuntos B e C, então $\overline{B}\cap C=\overline{C}\cap B=\mathrm{\varnothing }$ se e somente se existem F e G abertos tais que $B\subset F$, $C\subset G$ e $F\cap G=\mathrm{\varnothing }$.

Teorema 2

Um subconjunto E da reta real $ℝ$ é conexo se, e somente se, E tem a seguinte propriedade: Se $x\in E$, $y\in E$ e $x<z<y$, então $z\in E$.

Corolário

Todo os conjuntos conexos da reta são intervalos.

Teorema 3

A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo (é um invariante topológico).

Teorema 4

O fecho de um conjunto conexo é conexo.

Teorema 5

O produto cartesiano de espaços métricos $M=M_1\times \cdots \times M_n$é conexo se, e somente se, cada fator $M_i$ é conexo.

Exemplos e observações

• O cilindro C={$(x,y,z)\in {ℝ}^3:x^2+y^2=1$} é homeomorfo ao produto cartesiano $[0,2\pi )\times (\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty })$. Como $[0,2\pi )\times (\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty })$ são intervalos, eles são conexos; portanto, o produto cartesiano é conexo e a imagem C de uma aplicação homeomórfica é também um conjunto conexo. Conclui-se, então, que C é um conjunto conexo.
• Um conjunto conexo, se for complementarmente conjunto compacto, definirá um conjunto contínuo.
• Os conjuntos $\mathbb{N},\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$ são desconexos.

Ver também

• Conjunto compacto
• Conjunto contínuo
• Continuidade
• Números reais