Hiperplano

Um hiperplano é um conceito em geometria. Ele é a generalização do plano em diferentes números de dimensões.

Na geometria, um hiperplano pode ser um espaço vetorial, transformação afim ou o sub-espaço de dimensão n-1. Em particular, num espaço tridimensional um hiperplano é um plano habitual. Num espaço bidimensional, um hiperplano é uma reta. Num espaço unidimensional, um hiperplano é um ponto.

Denomina-se hiperplano em $\chi$ (por exemplo, $\chi ={ℝ}^N$) um conjunto de elementos tais que

$H=[x\in \chi :p^T\cdot x=b]$

, sendo $p$ um vetor não-nulo normal a $H$ e também pertence a $\chi$, e $b$ pertence ao conjunto dos números reais.

Um hiperplano é um espaço vetorial se $b=0$

Hiperplano nos números reais

Um hiperplano em ${ℝ}^1$ é calculado tendo as coordenadas do ponto, em ${ℝ}^2$ tendo as coordenadas de um ponto qualquer da reta e sua direção, sendo essa direção tanto em coordenadas polares (em função ângulo agudo formado com o eixo $x$) ou tanto como vetorial. Em ${ℝ}^3$ é possível calcular tendo um ponto do plano e o vetor normal a ele, sendo este composto pelos coeficientes de $x$, $y$ e $z$, respectivamente.

Exemplo

${ℝ}^1$

P = $(x_o,y_o,z_o)$
P = $(1,0,3)$

${ℝ}^2$

r: $x=x_o+at$                        vetor diretor $(a,b,c)$
   $y=y_o+bt$                        ponto arbitrário $(x_o,y_o,z_o)$
   $z=z_o+ct$

r: $x=2+3t$
   $y=3+4t$
   $z=2t$

O ponto escolhido no exemplo foi P = $(2,3,0)$ e o vetor foi $v=(3,4,2)$

${ℝ}^3$ $ax+by+cz+d=0$ $vetornormal=(a,b,c)$ $2x+3y-z=15$ Vetor normal ao plano $v=(2,3,-1)$.

Propriedades

• Um hiperplano em um espaço de dimensão $n$ é um conjunto afim com dimensão $n-1$.
• Um hiperplano divide o espaço em dois semi-espaços fechados e convexos, mas não afins
• Um hiperplano pode ser descrito por uma equação linear não degenerada na seguinte forma:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n=b$