Triângulo retângulo

Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90 graus). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado $c$ na figura). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos. O lado $a$ pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo $\hat{B}$ e oposto ao ângulo $\hat{A}$, enquanto o lado $b$ é o lado adjacente ao ângulo $\hat{A}$ e oposto ao ângulo $\hat{B}$.

Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um triângulo pitagórico e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um triplo pitagórico.

Principais propriedades

Área

Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área $T$ é

$T=\frac{1}{2}ab$

onde $a$ e $b$ são os catetos do triângulo.

Se o círculo inscrito for tangente à hipotenusa $\overline{AB}$ no ponto $P$, denotando o semiperímetro $\frac{(a+b+c)}{2}$ como $s$, teremos $PA=s-a$ e $PB=s-b$, e a área será dada por

$T=\text{PA}\cdot \text{PB}=(s-a)(s-b).$

Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.

Alturas

Altura de um triângulo retângulo

Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. Disto:

• A altura da hipotenusa é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.Predefinição:Rp
• Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.

Em equações,

$f^2=de$ (isso às vezes é conhecido como o teorema da média geométrica)

$b^2=ce$

$a^2=cd$

onde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ são mostrados no diagrama. Portanto

$f=\frac{ab}{c}$

Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo por

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{f^2}$

A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o ortocentro do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.

Teorema de Pitágoras

Predefinição:MainO teorema pitagórico afirma que:Predefinição:QuoteIsso pode ser afirmado na forma de equação como

$a^2+b^2=c^2$

onde $c$ é o comprimento da hipotenusa e $a$ e $b$ são os comprimentos dos dois lados restantes.

Os triplos pitagóricos são valores inteiros de $a$, $b$, $c$ que satisfazem esta equação.

Inraio e circunraio

Ilustração do teorema pitagórico

O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo com os catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $c$ é

$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$

O raio do círculo circunscrito é a metade do comprimento da hipotenusa,

$R=\frac{c}{2}$

Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:

$R+r=\frac{a+b}{2}$

Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como

$a=\frac{2r(b-r)}{b-2r}$

Caracterizações

Um triângulo $\mathrm{\Delta }ABC$ com lados $a\le b<c$, semiperímetro $s$, área $T$, altura $h$ oposta ao lado mais longo, circunraio $R$, inraio $r$, exraio $r_a$, $r_b$, $r_c$ (tangente a $a$, $b$, $c$ respectivamente) e medianas $m_a$, $m_b$, $m_c$ é um triângulo retângulo se, e somente se, alguma das afirmações na as seis categorias a seguir são verdadeiras. Todos eles também são propriedades de um triângulo retângulo, já que caracterizações são equivalências.

Lados e semiperímetro

• $a^2+b^2=c^2(\text{Teorema de Pitágoras})$
• $(s-a)(s-b)=s(s-c)$
• $s=2R+r.$
• $a^2+b^2+c^2=8R^2$

Ângulos

• A e B são complementares.
• $\cos A\cos B\cos C=0$
• ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2$
• ${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C=1$
• $\sin 2A=\sin 2B=2\sin A\sin B$

Área

• $T=\frac{ab}{2}$
• $T=r_a{r}_b=r{r}_c$
• $T=r(2R+r)$
• $T=PA\cdot PB$, onde $P$ é o ponto de tangência do incírculo no lado mais longo $\overline{AB}$.

Inraio e exraio

• $r=s-c=(a+b-c)/2$
• $r_a=s-b=(a-b+c)/2$
• $r_b=s-a=(-a+b+c)/2$
• $r_c=s=(a+b+c)/2$
• $r_a+r_b+r_c+r=a+b+c$
• $r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=a^2+b^2+c^2$
• $r=\frac{r_a{r}_b}{r_c}.$

Altura e medianas

• $h=\frac{ab}{c}$
• $m_a^2+m_b^2+m_c^2=6R^2$Predefinição:Rp
• O comprimento de uma mediana é igual ao circunraio.
• A altura mais curta (a do vértice com o maior ângulo) é a média geométrica dos segmentos de reta em que divide o lado oposto (mais longo). Este é o teorema da altura do triângulo retângulo.

Círculo inscrito e circunscrito

• O triângulo pode ser inscrito em um semicírculo, com um lado coincidindo com a totalidade do diâmetro (Teorema de Tales).
• O circuncentro é o ponto médio do lado mais longo.
• O lado mais longo é o diâmetro do círculo circunscrito $(c=2R).$
• O circuncírculo é tangente ao círculo de nove pontos.
• O ortocentro fica no circuncírculo.
• A distância entre o incentro e o ortocentro é igual a $\sqrt{2}r$.

Bibliografia

• Predefinição:MathWorld
• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo
• Calculando a área do triângulo retângulo