Grupo modular

Predefinição:Ver desambig2 Em matemática, o grupo modular é o grupo linear especial projetivo Predefinição:Math de matrizes Predefinição:Nowrap com coeficientes inteiros e determinante um. As matrizes Predefinição:Math e Predefinição:Math são identificadas. O grupo modular age na metade superior do plano complexo por meio de transformações fracionárias lineares, e o nome "grupo modular" vem da relação com espaços de módulos e não da aritmética modular.

Definição

O grupo modular Predefinição:Math é o grupo das transformações fracionárias lineares da metade superior do plano complexo, que têm a forma

$z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d},$

em que Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math são inteiros e Predefinição:Math. A operação do grupo é a composição de funções.

Este grupo de transformações é isomorfo ao grupo linear especial projetivo Predefinição:Math, que é o quociente do grupo linear especial bidimensional Predefinição:Math sobre os inteiros por seu centro Predefinição:Math. Em outras palavras, Predefinição:Math consiste em todas as matrizes

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

em que Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math são inteiros, Predefinição:Math, e pares de matrizes Predefinição:Math e Predefinição:Math são considerados idênticos. A operação do grupo é a multiplicação de matrizes usual.

Alguns autores definem o grupo modular como Predefinição:Math, e ainda outros definem o grupo modular como o grupo maior Predefinição:Math.

Algumas relações matemáticas requerem a consideração do grupo Predefinição:Math de matrizes com determinante mais ou menos um. (Predefinição:Math é um subgrupo deste grupo.) Da mesma forma, Predefinição:Math é o grupo quociente Predefinição:Math. Uma matriz Predefinição:Nowrap com determinante unitário é uma matriz simplética e, portanto, Predefinição:Math, o grupo simplético de matrizes Predefinição:Nowrap.

Obtenção dos elementos

Para encontrar elementos de Predefinição:Math explicitamente, há um truque que consiste em considerar dois inteiros coprimos $a, b$ , colocá-los na matriz $(\begin{matrix} a & x \\ b & y \end{matrix})$ e resolver a equação determinante $a y - b x = 1$ Observe que a equação do determinante força que $a, b$ sejam coprimos, pois caso contrário haveria um fator $c$ de tal modo que $c a^{'} = a$ , $c b^{'} = b$ , consequentemente $c (a^{'} y - b^{'} x) = 1$ não teria soluções inteiras. Por exemplo, se $a = 7, b = 6$ então a equação do determinante se torna $7 y - 6 x = 1$ então tomando $y = - 5$ e $x = - 6$ obtém-se $- 35 - (- 36) = 1$ , consequentemente $(\begin{matrix} 7 & - 6 \\ 6 & - 5 \end{matrix})$ é uma das matrizes. Então, usando a projeção, tais matrizes definem elementos em Predefinição:Math.

Propriedades da teoria dos números

O determinante unitário de

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

implica que as frações Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math são todas irredutíveis, isto é, não têm fatores comuns (desde que os denominadores não sejam nulos, é claro). Mais geralmente, se Predefinição:Math é uma fração na forma irredutível, então

\frac{a p + b q}{c p + d q}

também é irredutível (novamente, desde que o denominador seja diferente de zero). Qualquer par de frações irredutíveis pode ser conectado dessa maneira; isto é, para qualquer par de frações irredutíveis Predefinição:Math e Predefinição:Math, existem elementos

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in SL (2, 𝐙)

de tal modo que

r = a p + b q and s = c p + d q .

Elementos do grupo modular fornecem uma simetria no reticulado bidimensional. Sejam Predefinição:Math e Predefinição:Math dois números complexos cuja razão não é real. Então o conjunto de pontos

Λ (ω_{1}, ω_{2}) = {m ω_{1} + n ω_{2} : m, n \in 𝐙}

é um reticulado de paralelogramos no plano. Um par diferente de vetores Predefinição:Math e Predefinição:Math irá gerar exatamente a mesma rede se, e somente se,

(\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} ω_{1} \\ ω_{2} \end{matrix})

para alguma matriz em Predefinição:Math. É por esta razão que as funções duplamente periódicas, como as funções elípticas, possuem uma simetria de grupo modular.

A ação do grupo modular sobre os números racionais pode ser mais facilmente compreendida visualizando-se uma grade quadrada, com o ponto da grade Predefinição:Math correspondendo à fração Predefinição:Math (ver pomar de Euclides). Uma fração irredutível é aquela que é visível a partir da origem; a ação do grupo modular sobre uma fração nunca leva uma visível (irredutível) a uma oculta (redutível), e vice-versa.

Observe que qualquer membro do grupo modular mapeia a reta real estendida projetivamente biunivocamente consigo mesma e, além disso, mapeia bijetivamente a reta racional estendida projetivamente (os racionais com o infinito) consigo mesma, os irracionais com os irracionais, os números transcendentes com os números transcendentais, os números não reais com os números não reais, o semiplano superior com o semiplano superior, etc.

Se Predefinição:Math e Predefinição:Math são dois convergentes sucessivos de uma fração contínua, então a matriz

(\begin{matrix} p_{n - 1} & p_{n} \\ q_{n - 1} & q_{n} \end{matrix})

pertence a Predefinição:Math. Em particular, se Predefinição:Math para inteiros positivos Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math com Predefinição:Math e Predefinição:Math então Predefinição:Math e Predefinição:Math serão vizinhos na sequência de Farey de ordem Predefinição:Math. Casos especiais importantes de convergentes de frações contínuas incluem os números de Fibonacci e as soluções para a equação de Pell. Em ambos os casos, os números podem ser organizados para formar um semigrupo que é subconjunto do grupo modular.

Propriedades da teoria de grupos

Apresentação

Pode-se mostrar que o grupo modular pode ser gerado pelas duas transformações

\begin{matrix} S & : z \mapsto - \frac{1}{z} \\ T & : z \mapsto z + 1 \end{matrix}

de modo que todo elemento do grupo modular pode ser representado (de forma não única) pela composição de potências de Predefinição:Math e Predefinição:Math. Geometricamente, Predefinição:Math representa a inversão no círculo unitário seguida pela reflexão em relação ao eixo imaginário, enquanto Predefinição:Math representa uma translação de uma unidade para a direita.

Os geradores Predefinição:Math e Predefinição:Math obedecem às relações $S^{2} = 1$ e Predefinição:Math. Pode-se mostrar^[1] que estes são um conjunto completo de relações, portanto o grupo modular tem a presentação:

Γ ≅ ⟨ S, T ∣ S^{2} = I, {(S T)}^{3} = I ⟩

Esta presentação descreve o grupo modular como o grupo triangular rotacional Predefinição:Math (infinito, pois não há relação em Predefinição:Math) e, portanto, pode ser mapeado sobre cada grupo triângular Predefinição:Math adicionando a relação $T^{n} = 1$ , que ocorre, por exemplo, no subgrupo de congruência Predefinição:Math.

Usando os geradores Predefinição:Math e Predefinição:Math em vez de Predefinição:Math e Predefinição:Math, mostra-se que o grupo modular é isomorfo ao produto livre dos grupos cíclicos Predefinição:Math e Predefinição:Math:

Γ ≅ C_{2} * C_{3}

A ação de Predefinição:Math sobre Predefinição:Math
A ação de Predefinição:Math Predefinição:Math sobre Predefinição:Math

Grupo de trança

O grupo de tranças Predefinição:Math é a extensão central universal do grupo modular, com estes sendo reticulados dentro do grupo de cobertura universal (topológico) Predefinição:Math. Além disso, o grupo modular tem um centro trivial e, portanto, o grupo modular é isomorfo ao grupo quociente de Predefinição:Math por seu centro; equivalentemente, ao grupo de automorfismos internos de Predefinição:Math.

O grupo de tranças Predefinição:Math por sua vez, é isomorfo ao grupo de nós do nó trifólio.

Quocientes

Os quocientes por subgrupos de congruência são de interesse significativo.

Outros quocientes importantes são os grupos triangulares Predefinição:Math, que correspondem geometricamente a descer em um cilindro, quocientando a coordenada Predefinição:Math módulo Predefinição:Math, como $T^{n} = (z \mapsto z + n)$ . O grupo triangular Predefinição:Math é o grupo de simetria icosaédrica, e o grupo triangular $(2, 3, 7)$ (e os ladrilhos associados) é a cobertura para todas as superfícies de Hurwitz.

Apresentação como um grupo matricial

O grupo ${SL}_{2} (ℤ)$ pode ser gerado pelas duas matrizes^[2]

$S = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), T = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

como

$S^{2} = - I_{2}, (S T)^{3} = {(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})}^{3} = - I_{2}$

A projeção ${SL}_{2} (ℤ) \to {PSL}_{2} (ℤ)$ transforma essas matrizes em geradores de ${PSL}_{2} (ℤ)$ , com relações semelhantes às da presentação do grupo.

Relação com a geometria hiperbólica

Predefinição:VT O grupo modular é importante porque forma um subgrupo do grupo das isometrias do plano hiperbólico. Se considerarmos o modelo de meio plano superior Predefinição:Math da geometria plana hiperbólica, então o grupo de todas isometrias que preservam a orientação de Predefinição:Math consiste em todas as transformações de Möbius da forma

z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}

em que Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math, Predefinição:Math são inteiros, em vez dos números reais usuais, e Predefinição:Math. Em termos de coordenadas projetivas, o grupo Predefinição:Math age sobre o semiplano superior Predefinição:Math por projetividade:

[z, 1] (\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}) = [a z + b, c z + d] \sim [\frac{a z + b}{c z + d}, 1] .

Esta ação é fiel. Uma vez que Predefinição:Math é um subgrupo de Predefinição:Math, o grupo modular é um subgrupo do grupo de isometrias que preservam a orientação de Predefinição:Math.^[3]

Tesselação do plano hiperbólico

Um domínio fundamental típico para a ação de Predefinição:Math sobre o semiplano superior

O grupo modular Predefinição:Math age sobre Predefinição:Math como um subgrupo discreto de Predefinição:Math, ou seja, para cada Predefinição:Math em Predefinição:Math podemos encontrar uma vizinhança de Predefinição:Math que não contém nenhum outro elemento da órbita de Predefinição:Math. Isso também significa que podemos construir domínios fundamentais, que (aproximadamente) contêm exatamente um representante da órbita de cada Predefinição:Math em Predefinição:Math (É necessário cuidado com a fronteira do domínio.)

Existem muitas maneiras de construir um domínio fundamental, mas uma escolha comum é a região

R = {z \in 𝐇 : | z | > 1, | Re (z) | < \frac{1}{2}}

delimitada pelas retas verticais Predefinição:Math e Predefinição:Math, e a circunferência $| z | = 1$ . Esta região é um triângulo hiperbólico. Ela tem vértices em Predefinição:Math e Predefinição:Math, onde o ângulo entre as arestas é Predefinição:Math, e um terceiro vértice no infinito, onde o ângulo entre suas arestas é 0.

A transformação desta região pelos elementos do grupo modular, dá origem a uma tesselação regular do plano hiperbólico por triângulos hiperbólicos congruentes conhecida como mosaico triangular de ordem infinita V6.6.∞. Observe que cada um destes triângulos tem um vértice no infinito ou no eixo real Predefinição:Math. Esse mosaico pode ser estendido ao disco de Poincaré, onde cada triângulo hiperbólico tem um vértice na fronteira do disco. O mosaico do disco de Poincaré é dado de forma natural pelo [[:Ficheiro:J-inv-phase.jpeg|Predefinição:Math-invariante]], que é invariante sob o grupo modular, e atinge todos os números complexos uma vez em cada triângulo dessas regiões.

Este mosaico pode ser ligeiramente refinado, dividindo cada região em duas metades (convencionalmente coloridas em preto e branco), adicionando uma transformação que inverte a orientação; então as cores correspondem à orientação do domínio. Adicionando Predefinição:Math e tomando a metade direita da região Predefinição:Math (onde Predefinição:Math) obtém-se a tesselação usual. Este mosaico aparece pela primeira vez publicado em Predefinição:Harv,^[4] onde é creditado a Richard Dedekind, em referência a Predefinição:Harv.^[5]

A transformação de grupos Predefinição:Math (do grupo modular para o grupo triangular) pode ser visualizada em termos desse mosaico (produzindo um mosaico na curva modular), conforme representado no vídeo à direita.

Predefinição:Tabela de mosaicos de ordem i-3

Subgrupos de congruência

Predefinição:AP Alguns subgrupos importantes do grupo modular Predefinição:Math, chamados subgrupos de congruência, são dados impondo relações de congruência nas matrizes associadas.

Existe um homomorfismo natural Predefinição:Math dado pela redução das entradas módulo Predefinição:Math. Isso induz um homomorfismo no grupo modular Predefinição:Math. O núcleo desse homomorfismo é chamado de subgrupo de congruência principal de nível Predefinição:Math, denotado por Predefinição:Math. Tem-se a seguinte sequência exata curta:

1 \to Γ (N) \to Γ \to PSL (2, 𝐙 / N 𝐙) \to 1

.

Sendo o núcleo de um homomorfismo, Predefinição:Math é um subgrupo normal do grupo modular Predefinição:Math. O grupo Predefinição:Math é dado como o conjunto de todas as transformações modulares

z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}

em que Predefinição:Math e Predefinição:Math.

É fácil mostrar que o traço de uma matriz que representa um elemento de Predefinição:Math não pode ser -1, 0 ou 1, portanto, esses subgrupos são grupos livres de torção. (Existem outros subgrupos sem torção.)

O subgrupo principal de congruência de nível 2, Predefinição:Math, também é chamado de grupo modular Predefinição:Math. Visto que Predefinição:Math é isomorfo a Predefinição:Math, Predefinição:Math é um subgrupo do índice 6. O grupo Predefinição:Math consiste de todas as transformações modulares em que Predefinição:Math e Predefinição:Math são ímpares e Predefinição:Math e Predefinição:Math são pares.

Outra família importante de subgrupos de congruência é o grupo modular [[grupo modular Gama0|grupo modular Predefinição:Math]] definido como o conjunto de todas as transformações modulares para as quais Predefinição:Math, ou equivalentemente, como o subgrupo cujas matrizes tornam-se triangulares superiores após a redução módulo Predefinição:Math. Observe que Predefinição:Math é um subgrupo de Predefinição:Math. As curvas modulares associadas a esses grupos são um aspecto do monstrous moonshine - para um número primo Predefinição:Math, a curva modular do normalizador é gênero zero se, e somente se, Predefinição:Math divide a ordem do grupo monstro, ou equivalentemente, se Predefinição:Math é um primo supersingular.

Monoide diádico

Um subconjunto importante do grupo modular é o monoide diádico, que é o monoide de todas as strings da forma $S T^{k} S T^{m} S T^{n} \dots$ para inteiros positivos Predefinição:Math. Este monoide ocorre naturalmente no estudo das curvas fractais e descreve as simetrias de autossimilaridade da função de Cantor, da função ponto de interrogação de Minkowski e do floco de neve de Koch, cada uma sendo um caso especial da curva de de Rham geral. O monoide também tem representações lineares de dimensões superiores; por exemplo, a representação Predefinição:Math pode ser entendida para descrever a autossimetria da curva de manjar branco.

Aplicações do toro

O grupo Predefinição:Math consiste das transformações lineares que preservam o reticulado padrão Predefinição:Math, e Predefinição:Math são as transformações que preservam a orientação e que preservam este reticulado; elas, portanto, se traduzem em auto-homeomorfismos do toro (SL sendo mapeado para transformações que preservam a orientação), e de fato correspondem isomorficamente ao grupo (estendido) de classes de aplicações do toro, o que significa que todo auto-homeomorfismo do toro é isotópico a uma aplicação desta forma. As propriedades algébricas de uma matriz como elemento de Predefinição:Math correspondem à dinâmica da aplicação induzida no toro.

Grupos de Hecke

O grupo modular pode ser generalizado para os grupos de Hecke, nomeados em homenagem a Erich Hecke e definido como segue.^[7]

O grupo de Hecke Predefinição:Math com Predefinição:Math, é o grupo discreto gerado por

\begin{matrix} z & \mapsto - \frac{1}{z} \\ z & \mapsto z + λ_{q}, \end{matrix}

em que Predefinição:Math. Para pequenos valores de Predefinição:Math, tem-se:

\begin{matrix} λ_{3} & = 1, \\ λ_{4} & = \sqrt{2}, \\ λ_{5} & = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \\ λ_{6} & = \sqrt{3} . \end{matrix}

O grupo modular Predefinição:Math é isomorfo a Predefinição:Math e eles têm propriedades e aplicações em comum - por exemplo, assim como tem-se o produto livre de grupos cíclicos

Γ ≅ C_{2} * C_{3},

mais geralmente tem-se

H_{q} ≅ C_{2} * C_{q},

que corresponde ao grupo triangular Predefinição:Math. Da mesma forma, há uma noção de subgrupos de congruência principais associados aos ideais principais em Predefinição:Math.

História

O grupo modular e seus subgrupos foram estudados em detalhes pela primeira vez por Richard Dedekind e por Felix Klein como parte de seu programa Erlangen na década de 1870. No entanto, as funções elípticas intimamente relacionadas foram estudadas por Joseph Louis Lagrange em 1785, e outros resultados sobre funções elípticas foram publicados por Carl Gustav Jakob Jacobi e Niels Henrik Abel em 1827.

Ver também

Referências

[1] Predefinição:Citar periódico

[2] Predefinição:Citar web

[3] Predefinição:Citar periódico

[lebruyn-4] Predefinição:Citation

[5] Predefinição:Citar periódico

[westendorp-6] Predefinição:Citar web

[7] Predefinição:Citar livro

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Grupo modular

Índice