Grupo quociente

Predefinição:Sem fontes Em matemática, o grupo quociente G/N pode ser entendido, de forma intuitiva, ao se considerar em um grupo G e um seu subconjunto N como se os elementos de N fossem igualados ao elemento neutro.

Mais precisamente, seja N um subconjunto do grupo G. Então o grupo quociente G/N é um grupo de subconjuntos de G, sendo N o elemento neutro deste grupo, satisfazendo:

$x,y\in G,X,Y\in G/N,x\in X,y\in Y⟹xy\in XY$

Prova-se que a condição necessária e suficiente para que esta operação seja bem-definida e torne G/N um grupo é que N seja um subgrupo normal de G.

Exemplos

${\mathbb{Z}}_4$ pode ser visto como um subgrupo normal de ${\mathbb{Z}}_{12}$, cujas classes laterais (denotadas com cores distintas) formam um grupo cíclico com 3 elementos.

• O conjunto $n\mathbb{Z}$ dos múltiplos de um número inteiro positivo n é um subgrupo normal de $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ é o grupo cíclico com n elementos.
• Se n divide m, então ${\mathbb{Z}}_n$ pode ser visto como um subgrupo normal de ${\mathbb{Z}}_m$ e ${\mathbb{Z}}_m/{\mathbb{Z}}_n$ é isomorfo a ${\mathbb{Z}}_{m/n}$.
• $\mathbb{Z}$ é um subgrupo normal de $ℝ$ e $ℝ/\mathbb{Z}$ é isomorfo ao grupo circular ${𝕊}^1$.
• Seja $S_n$ o grupo das permutações de um conjunto de n elementos, e $A_n$ o subgrupo normal das permutações pares. Então $S_n/A_n$ é isomorfo a ${\mathbb{Z}}_2$.