Grupo linear especial

O grupo linear especial, SL (n, F), é o grupo de todas as matrizes de determinante 1. Elas são especiais em que elas se encontram em uma subvariedade - satisfazem uma equação polinomial (como o determinante é um polinômio nas entradas). Matrizes deste tipo formam um grupo como o determinante do produto de duas matrizes é o produto de cada um dos determinantes da matriz.

SL(n, F) é um subgrupo normal de GL(n,F). Se escrever F^× para o grupo multiplicativo F (excluindo 0), então o determinante é um homomorfismo de grupos

$\det :\mathrm{GL}(n,F)\to F^{\times }.$

que é sobrejetivo e seu kernel é o grupo especial linear. Portanto, pelo primeiro teorema de isomorfismo, GL(n,F)/SL(n,F) é isomorfo a F^×. De fato, GL (n,F) pode ser escrita como um produto semidireto:

GL(n,F) = SL(n,F) ⋊ F^×

Quando F é R ou C, SL (n, F) é um subgrupo de Lie de GL (n, F) de dimensão n² − 1. O colchete Lie é dado pelo comutador. O grupo especial linear SL(n,R) pode ser caracterizado como o grupo de volume e orientação preservando transformações lineares de Rⁿ.

O grupo SL(n,C) é simplesmente conectado enquanto SL(n,R) não é. SL(n,R) tem o mesmo grupo fundamental como GL⁺(n, R), isto é, Z para n=2 e Z₂ para n>2.