Transformação fracionária linear
Em matemática, uma transformação fracionária linear é, a grosso modo, uma transformação da forma
que tem um inverso.[1] As transformações fracionais lineares são amplamente utilizadas em várias áreas da matemática e suas aplicações na engenharia, como geometria clássica, teoria dos números[2] (elas são usadas, por exemplo, na prova de Wiles do último teorema de Fermat)[3], teoria dos grupos[4] e teoria de controle.[5][6]
A definição precisa depende da natureza de Predefinição:Math, e Predefinição:Mvar.Em outras palavras, uma transformação fracionária linear é uma transformação representada por uma fração cujo numerador e denominador são lineares.[7]
Na configuração mais básica, Predefinição:Math, e z são números complexos (nesse caso, a transformação também é chamada de transformação de Möbius)[8], ou mais geralmente elementos de um campo. A condição de inversibilidade é então Predefinição:Math.Sobre um campo, uma transformação fracionária linear é a restrição ao campo de uma transformação projetiva ou homografia da linha projetiva.
Quando Predefinição:Math são inteiros (ou, geralmente, pertencem a um domínio integral), Predefinição:Mvar deve ser um número racional (ou pertencer ao corpo de frações do domínio integral. Nesse caso, a condição de inversibilidade é que Predefinição:Math deve ser uma unidade do domínio (que é 1 ou -1 no caso de números inteiros).[9]
Na configuração mais geral, a, b, c, d e z são matrizes quadradas ou, mais geralmente, elementos de um anel. Um exemplo dessa transformação fracionária linear é a transformada de Cayley, que foi originalmente definida no anel matricial real 3 x 3.