Subgrupo

Definição

Em teoria dos grupos, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação. Sejam $(G,\ast )$ um grupo e $H$ um subconjunto não vazio de $G$. Dizemos que $H$ é um subgrupo de $G$ se $H$ é fechado para a operação de $G$ e é um grupo. Notação: $H\le G.$

Exemplos

• Os subgrupos de $\mathbb{Z}$ são os conjuntos $n\mathbb{Z}$ dos múltiplos de $n$, para cada $n\in \mathbb{Z}$.
• $(\mathbb{Z},+)$ é um subgrupo de $(\mathbb{Q},+);$
• O conjunto $\{1,i,-i,-1\}$ é um subgrupo dos ($ℂ,\cdot )$ com a multiplicação usual de números complexos..

Resultado Importante

Para verifcar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo, precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de grupo. Contudo a proposição abaixo facilita este trabalho.

Proposição 1: Seja $H$ um subconjunto não vazio de um grupo $G$.Então $H$ é um subgrupo de $G$ se e somente se, para todo $a,b\in H$ implica que $a\ast b^{-1}\in H.$

Propriedades hereditárias

Os grupos têm as seguintes propriedades hereditárias, isto é, se um grupo tem uma das propriedades seguintes, também os seus subgrupos a têm:

• finitude
• comutatividade
• ciclicidade