Função meromorfa

Em análise complexa, uma função complexa $f(z)$ é dita meromorfa em uma região $\mathrm{\Omega }$ se for analítica (isto é, holomorfa) nessa região, à exceção de polos isolados.Predefinição:Sfn

De forma mais precisa, se $\mathrm{\Omega }$ for um aberto conexo não vazio de $ℂ$, diz-se que uma função $f$ definida num subconjunto de $\mathrm{\Omega }$ com valores em $ℂ$ é meromorfa se:

• o domínio de $f$ é da forma $\mathrm{\Omega }$ \ $D$, onde $D$ é uma parte fechada e discreta de $\mathrm{\Omega }$;
• $f$ é holomorfa;
• $f$ tem um polo em cada $z_0$ ∈ $D$.

Exemplos

• Qualquer função holomorfa é meromorfa.
• A função $f$ de $ℂ\mathrm{\setminus }\{0\}$ em $ℂ$ definida por $f(z)=1/z$ é uma função meromorfa de $ℂ$ em $ℂ$.
• A função $f$ de $ℂ\mathrm{\setminus }(\{0\}\cup \{1/n|n\in \mathbb{Z}\})$ em $ℂ$ definida por $f(z)=1/\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\pi /z)$ não é uma função meromorfa de $ℂ$ em $ℂ$, pois $\{0\}\cup \{1/n|n\in \mathbb{Z}\}$ não é um conjunto discreto (pois $0$ é um ponto de acumulação). Mas $f$ é uma função meromorfa de $ℂ\mathrm{\setminus }\{0\}$ em $ℂ$ (pois agora o conjunto dos polos de $f$ é discreto).
• A função $f$ de $ℂ\mathrm{\setminus }\{0\}$ em $ℂ$ definida por $f(z)=e^{1/z}$ não é uma função meromorfa de $ℂ$ em $ℂ$, pois não tem um polo em $0$.

Propriedades

Seja $\mathrm{\Omega }$ um aberto conexo não vazio de $ℂ$ e sejam $f$ e $g$ duas funções meromorfas de $\mathrm{\Omega }$ em $ℂ$. A função $f$ tem por domínio um conjunto da forma $\mathrm{\Omega }$ \ $D_f$ e a função $g$ tem por domínio um conjunto da forma $\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }{D}_g$, sendo $D_f$ e $D_g$ conjuntos fechados e discretos. Começa-se por definir $f+g$ em $\mathrm{\Omega }\mathrm{\setminus }(D_f\cup D_g)$ da maneira usual: $(f+g)(z)=f(z)+g(z)$. Para cada $z_0\in D_f\cup D_g$, é possível que exista o limite

$\underset{z\to z_0}{\lim }[f(z)+g(z)]$;

se for esse o caso, define-se $(f+g)(z_0)$ como sendo esse limite. Definindo $f+g$ desse modo, então tem-se novamente uma função meromorfa. Pode-se definir analogamente as funções $f-g$, $f\cdot g$ e $f/g$ (esta última caso $g$ não seja a função nula). Com estas operações, o conjunto das funções meromorfas de $\mathrm{\Omega }$ em $ℂ$ passa a ter uma estrutura de corpo.

O quociente de duas funções holomorfas é uma função meromorfa. Reciprocamente, qualquer função meromorfa pode ser expressa como o quociente de duas funções holomorfas.

Bibliografia

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