Polo (análise complexa)

O valor absoluto da função gama. A imagem mostra que a função torna-se infinita nos pólos (à esquerda). À direita, a função gamma não possui polos: ela apenas cresce rapidamente.

Em análise complexa, um polo de um função holomorfa é um certo tipo de singularidade que se comporta como um singularidade do tipo $\frac{1}{z^n}$ no ponto $z=0$.

Em particular, em um polo a de uma função f, f(z) tende ao infinito as conforme z se aproxima de a.Predefinição:Sfn

Definição

Formalmente, suponha que $\mathrm{\Omega }$ é um subconjunto aberto do plano complexo $ℂ$, $a$ é um elemento de $\mathrm{\Omega }$ e $f:{\mathrm{\Omega }}_a\to ℂ$ é uma função holomorfa. Se existir uma função holomorfa $g:\mathrm{\Omega }\mapsto ℂ$ e um inteiro não negativo $n$ tal que

$f(z)=\frac{g(z)}{(z-a{)}^n}$

para todo $z$ em ${\mathrm{\Omega }}_a$, então a é denominada um polo de f. O menor número n satisfazendo a condição acima é chamada ordem do polo. Um polo de ordem 1 é chamado polo simples. Um polo de ordem 0 é uma singularidade removível.

Da definição acima, várias caracterizações equivalentem podem ser deduzidas:

Como g é uma função analítica, f pode ser expressa como:

$f(z)=\frac{a_{-n}}{(z-a{)}^n}+\cdots +\frac{a_{-1}}{(z-a)}+\sum _{k\ge 0}{a}_k(z-a{)}^k.$

Esta é uma série de Laurent com uma parte principal finita. A função holomórfica $\sum _{k\ge 0}{a}_k(z-a{)}^k$ (em $\mathrm{\Omega }$) é chamada a parte regular de $f$. Então, o ponto a é um polo de ordem n de $f$ se e somente se todos os termos da expansão da série de Laurent de $f$ em torno de a de abaixo do grau −n desaparecem e o termo de grau −n não é nulo.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Pole no MathWorld.
• Predefinição:Link