Função holomorfa

Predefinição:Mais-notas Predefinição:Análise complexa Predefinição:Minidesambig Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo $ℂ$ com valores em $ℂ$ que são diferenciáveis em cada ponto.

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa", entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto $a\in ℂ$" significa não só diferenciável em $a$, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em $a$, no plano complexo.

Definição

Se $U$ é um subconjunto aberto de $ℂ$ e $f:U\to ℂ$ é uma função, dizemos que $f$ é diferenciável complexa ou $ℂ$-diferenciável no ponto $z_0\in U$ se o limite

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

existir.

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de $z_0$, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número $f^{\prime }(z_0)$. Intuitivamente, se $f$ é diferenciável complexa em $z_0$ e nas proximidades ao ponto $z_0$ da direção $r$, então as imagens se aproximarão ao ponto $f(z_0)$ a partir da direção $f^{\prime }(z_0)r$, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.

Se $f$ é complexa diferenciável em cada ponto $z_0\in U$, dizemos que $f$ é holomorfa em $U$.

Propriedades

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:

• $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
• $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

etc.

Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:

• Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.
• Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante. O argumento, aqui, é o ângulo $\theta$ obtido pela transformação $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

Pelas propriedades acima, a função $f:ℂ\to {ℝ}_0^{+}$, dada por $f(z)=|z|$ não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto).

Além disso, se uma função $f:U\to ℂ$ é holomorfa no aberto $U\subset ℂ$ e é dada por$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann $(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ e $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x})$ para todo o $z_0\in U$. O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que $u$ e $v$ sejam funções de classe $C^1$no ponto $(x_0,y_0)\in {ℝ}^2$ tal que $z_0=x_0+i{y}_0$.

Ver também

• Função antiholomorfa