Representação decimal

A representação decimal de um número real não negativo Predefinição:Mvar é uma expressão da forma.

$r=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_i}{10^i}$

onde $a_0$ é um número natural, e $a_1,a_2,\dots$ são números naturais que satisfazem $0\le a_i\le 9$;

Isto é frequentemente escrito de modo mais compacto e elegante como segue:

$r=a_0.a_1{a}_2{a}_3\dots .$

Significa-se, com esta última forma, que $a_0$ é a parte inteira de $r$, não necessariamente entre 0 e 9, e $a_1,a_2,a_3,\dots$ são os dígitos que compõem a parte fracionária (ou "não inteira") de $r.$

A aparente exigência de ser o número real "não negativo" justifica-se: para os números reais negativos, a representação formal é a mesma precisamente, bastando juntar-se-lhe o sinal convencional de número negativo (o sinal "–"). O sinal "–" entende-se, então, como um operador de inversão ou simetria aditiva: o operador capaz de transformar um dado número no seu inverso aditivo (ou simétrico aditivo).

Aproximações decimais finitas

Qualquer número real pode ser aproximado a qualquer desejado ou especificado grau de precisão por meio de números racionais com representações decimais finitas.

Seja $x\ge 0$. Então, para todo número natural $n\ge 1$, existe um decimal finito $r_n=a_0.a_1{a}_2\cdots a_n$ tal que

$r_n\le x<r_n+\frac{1}{10^n}.$

Demonstração:

Seja $r_n=\frac{p}{10^n}$, onde $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$. Então $p\le 10^{n}x<p+1$, e o resultado surge pela divisão de ambos os lados por $10^n$. (O fato de que $r_n$ tem uma representação decimal finita é facilmente estabelecido.)

Representações decimais múltiplas

Predefinição:AP Alguns números reais têm duas representações decimais infinitas. Por exemplo, o número 1 pode ser corretamente representado por 1,0000000..., bem como por 0,9999999... (com um número infinito de dígitos "9", extensão ao infinito simbolizada por "...", as reticências). Convencionalmente, a primeira versão é preferida e há várias razões práticas para isso: basta omitir a sequência infinita de dígitos "0" após o separador decimal — a vírgula decimal, em cultura lusófona, o ponto decimal, em cultura anglófona — remover o separador decimal, e uma compacta e conveniente forma decimal normalizada é obtida.

Contudo, as outras formas de representação decimal infinitas merecem atenção e não devem ser consideradas inferiores. Isso, todavia, é melhor examinado em artigos específicos.

Ver também

• Sistema de numeração decimal
• Série (matemática)

Referências

• APOSTOL, Tom. Mathematical analysis. 2. ed.. New York: Addison-Wesley, 1974.

Ligações externas

• Plouffe's inverter descreve um número, dada sua representação decimal. Por exemplo, exibirá 3,14159265... como [[Pi|Predefinição:Pi]].