Espaços de Sobolev

Predefinição:Sem fontes Os espaços de Sobolev são definidos sobre domínio arbitrário $\mathrm{\Omega }\in {ℝ}^N$ e são subespaços vetoriais dos espaços $L^p(\mathrm{\Omega }).$

Defina o funcional $\Vert \cdot {\Vert }_{W^{m,p}},$ onde $m$ é um inteiro não negativo e $1\le p\le \mathrm{\infty },$ como

$\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}}={(\sum _{0\le |\alpha |\le m}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^p}^p)}^{1/p}\text{ se }1\le p<\mathrm{\infty },(*)$

$\Vert u{\Vert }_{W^{m,\mathrm{\infty }}}=\underset{0\le |\alpha |\le m}{\max }\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}(**)$

para qualquer função $u$ tal que o lado direito (das igualdades acima) faça sentido. Claramente uma das igualdades acima definem uma norma no espaço vetorial de funções nas quais o lado direito assume valores finitos.

Definimos

$W^{m,p}(\mathrm{\Omega })\equiv \{u\in L^p(\mathrm{\Omega });D^{\alpha }u\in L^p(\mathrm{\Omega })\text{ para }0\le |\alpha |\le m,\text{ onde }{D}^{\alpha }u\text{ é a derivada}\text{ no sentido das distribuições de }u\},$ e

$W_0^{m,p}(\mathrm{\Omega })\equiv \text{ o fecho de }{C}_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\text{ no espaço }{W}^{m,p}(\mathrm{\Omega }).$ Estes espaços, munidos com a norma (*), (**) são chamados espaços de Sobolev sobre $\mathrm{\Omega }.$