Operador linear limitado

Em matemática e, em especial, em análise funcional um operador linear limitado é uma transformação linear $T : X ⟶ Y$ entre espaços vetoriais topológicos $X$ e $Y$ que aplica subconjuntos limitados de $X$ em subconjuntos limitados de $Y$ . Em particular, se $X$ e $Y$ são espaços normados, então $T$ é limitado se, e somente se, existe $M > 0$ tal que

‖ T x ‖_{Y} \leq M ‖ x ‖_{X}, \forall x \in X .

Em espaços vetoriais normados

Seja $T : X \to Y$ uma transformação linear entre espaços normados $X$ e $Y$ . Então $T$ é um operador linear limitado se existe $M > 0$ tal que

‖ T x ‖_{Y} \leq M ‖ x ‖_{X}, \forall x \in X .

Denotamos por $ℒ (X, Y)$ o espaço vetorial de todos os operadores lineares limitados de $X$ em $Y$ . Define-se a norma de um operador linear limitado por

‖ T ‖_{ℒ (X, Y)} : = \sup_{\overset{x \in X}{x \neq 0}} \frac{‖ T x ‖_{Y}}{‖ x ‖_{X}} .

Pode-se provar que se $T \in ℒ (X, Y)$ , então

‖ T ‖_{ℒ (X, Y)} = \sup_{\overset{x \in X}{‖ x ‖ \leq 10}} ‖ T x ‖_{Y} = \sup_{\overset{x \in X}{‖ x ‖ = 1}} ‖ T x ‖_{Y} .

Predefinição:Teorema

Predefinição:Math proof

Por causa deste resultado, usamos a nomenclatura operador linear limitado e operador linear contínuo indistintamente.

Propriedades

Se $X$ é um espaço normado e $Y$ é um espaço de Banach, então $ℒ (X, Y)$ também é um espaço de Banach.

$ℒ (X, ℝ)$ é chamado de dual topológico de $X$ e é denotado simplesmente por $X^{*} .$ Predefinição:Nota de rodapé

Dados $x^{*} \in X^{*}$ e $x \in X$ , constuma-se usar a notação $⟨ x^{*}, x ⟩_{X^{*}, X}$ , ou simplesmente $⟨ x^{*}, x ⟩$ , ao invés de $x^{*} (x)$ .

Se $X$ é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado

Se $X$ é um espaço de dimensão infinita, então o axioma da escolha garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.