Núcleo (álgebra linear)

Em matemática, mais especificamente em álgebra linear e análise funcional, o núcleo (kernel, em inglês) ou espaço nulo de uma transformação linear Predefinição:Nowrap entre dois espaços vetoriais V e W, é o conjunto de todos os elementos v de V para os quais Predefinição:Nowrap, em que 0 denota o vetor nulo de W. Em outras palavras,

$$\ker (L)=\{𝐯\in V\mid L(𝐯)=\mathrm{𝟎}\}\text{.}$$

Propriedades

O núcleo (Ker) e a imagem de uma transformação L.

O núcleo de L é um subespaço vetorial do domínio V. Para uma transformação linear Predefinição:Nowrap, dois elementos de V têm a mesma imagem em W se, e somente se, a sua diferença reside no núcleo de L: $$L({𝐯}_1)=L({𝐯}_2)\iff L({𝐯}_1-{𝐯}_2)=\mathrm{𝟎}\text{.}$$ Segue-se que a imagem de L é isomorfa ao quociente de V pelo núcleo: $$\mathrm{i}\mathrm{m}(L)\cong V/\ker (L)\text{.}$$ Predefinição:AnchorIsto implica o teorema do posto e nulidade: $$\dim (\ker L)+\dim (\mathrm{i}\mathrm{m}L)=\dim (V)\text{.}$$ onde, por posto entende-se a dimensão da imagem de L, e por nulidade, a dimensão do núcleo de L.

Quando V é um espaço com produto interno, o quociente Predefinição:Nowrap pode ser identificado com o complemento ortogonal de ker(L) em V. Esta é a generalização para operadores lineares do espaço linha, ou coimagem, de uma matriz.

Aplicação aos módulos

A noção de núcleo aplica-se aos homomorfismos de módulos, sendo estes últimos uma generalização dos espaços vetoriais sobre um corpo para um anel. O domínio da função passa a ser um módulo, e o núcleo constitui um "submódulo". Aqui, os conceitos de posto e de nulidade, não se aplicam necessariamente.

Na análise funcional

Se V e W são espaços vetoriais topológicos (e, W é de dimensão finita) então um operador linear L: V → W é contínuo se, e somente se, o núcleo de L é um subespaço fechado de V.

Representação como a multiplicação de matrizes

Considere uma transformação linear representada como uma matriz A de ordem m × n com coeficientes em um corpo K (normalmente o corpo dos números reais ou dos números complexos) e atuando sobre vetores coluna x com n componentes sobre K. O núcleo desta transformação linear é o conjunto de soluções para a equação Predefinição:Nowrap, em que 0 é entendido como o vetor nulo. A dimensão do núcleo de A é chamada de nulidade de A. Em notação de conjuntos, $$\mathrm{N}(A)=\mathrm{Null}(A)=\ker (A)=\{𝐱\in K^n|A𝐱=\mathrm{𝟎}\}.$$ A equação matricial é equivalente a um sistema de equações lineares homogêneas:

$$A𝐱=\mathrm{𝟎}\iff \begin{array}{cccccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =& & & 0\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =& & & 0\\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =& & & 0\text{.}\\ \end{array}$$

Assim, o núcleo de A é o mesmo que o conjunto solução para o sistema homogêneo acima.

Propriedades de subespaço

O núcleo de uma matriz A de ordem Predefinição:Nowrap sobre um corpo K é um subespaço vetorial de Kⁿ. Isto é, o núcleo de A, o conjunto Ker(A), tem as seguintes três propriedades:

1. Ker(A) sempre contém o vetor nulo, uma vez que Predefinição:Nowrap.
2. Se Predefinição:Nowrap e Predefinição:Nowrap, então Predefinição:Nowrap. Isso decorre da distributividade da multiplicação de matrizes sobre a adição.
3. Se Predefinição:Nowrap e Predefinição:Nowrap é um escalar, então Predefinição:Nowrap, uma vez que Predefinição:Nowrap.

O espaço linha de uma matriz

O produto Ax pode ser escrito em termos do produto escalar de vetores da seguinte forma: $$A𝐱=\left[\begin{array}{c}{𝐚}_1\cdot 𝐱\\ {𝐚}_2\cdot 𝐱\\ ⋮\\ {𝐚}_m\cdot 𝐱\end{array}\right].$$ Aqui a₁, ... , a_m indicam as linhas da matriz A. Segue-se que x está no núcleo de A se, e somente se, x é ortogonal (ou perpendicular) a cada um dos vetores linha de A (porque quando o produto escalar de dois vetores é igual a zero, eles são, por definição, ortogonais).

O espaço linha, ou coimagem, de uma matriz A é o espaço gerado pelos vetores linha de A. Pelo raciocínio acima, o núcleo de A é o complemento ortogonal para o espaço linha, ou seja, um vetor x está no núcleo de A se, e somente se, ele é perpendicular a cada vetor no espaço linha de A.

A dimensão do espaço linha de A é chamada de posto de A e a dimensão do núcleo de A é chamada de nulidade de A. Estas grandezas estão relacionadas pelo teorema do posto e da nulidade: $$\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n.$$

Espaço nulo à esquerda

O espaço nulo à esquerda, ou conúcleo, de uma matriz A consiste de todos os vetores x tais que x^TA = 0^T, em que T denota a transposição de um vetor coluna. O espaço nulo à esquerda de A é o mesmo que o núcleo de A^T. O espaço nulo à esquerda de A é o complemento ortogonal do espaço de coluna de A, e é dual do conúcleo da transformação linear associada. O núcleo, o espaço linha, o espaço coluna, e o espaço nulo à esquerda de A são os quatro subespaços fundamentais associados à matriz A.

Sistemas de equações lineares não homogêneas

O núcleo também desempenha um papel na solução de um sistema linear não homogêneo:

$$A𝐱=𝐛\text{or}\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =& & & b_1\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =& & & b_2\\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =& & & b_m\\ \end{array}$$

Se u e v são duas soluções possíveis da equação acima, então,

$$A(𝐮-𝐯)=A𝐮-A𝐯=𝐛-𝐛=\mathrm{𝟎}$$

Assim, a diferença entre duas soluções da equação Ax = b pertence ao núcleo de A.

Disto resulta que qualquer solução da equação Ax = b pode ser expressa como a soma de uma soluço fixa v e um elemento arbitrário do núcleo, isto é, o conjunto solução para a equação Ax = b é

$$\{𝐯+𝐱\mid A𝐯=𝐛\wedge 𝐱\in \mathrm{Null}(A)\},$$

Geometricamente, isto diz que o conjunto solução de Ax = b é a translação do núcleo de A pelo vetor v. Ver também a alternativa de Fredholm e flat (geometria).

Ilustração

Nesta seção, é exemplificado o processo para determinar o núcleo de uma matriz (ver a seção sobre o Cálculo por eliminação gaussiana abaixo para métodos mais adequados para cálculos mais complexos). Também é mencionado o espaço linha e a sua relação com o núcleo.

Considere a matriz $$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right].$$ O núcleo desta matriz consiste de todos os vetores (x, y, z) ∈ R³ para os quais

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],$$

o que pode ser expresso como um sistema de equações lineares homogêneas envolvendo x, y, e z:

$$\begin{array}{ccccccccccccc}2x& & +& & 3y& & +& & 5z& & =& & 0,\\ -4x& & +& & 2y& & +& & 3z& & =& & 0,\\ \end{array}$$

o que pode ser escrito em forma de matriz, como: $$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 5& 0\\ -4& 2& 3& 0\end{array}\right].$$

A eliminação de Gauss–Jordan reduz esta matriz a: $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1/16& 0\\ 0& 1& 13/8& 0\end{array}\right].$$

Reescrevendo, obtém-se: $$\begin{array}{ccc}x=& & -\frac{1}{16}z\\ y=& & -\frac{13}{8}z.\end{array}$$

Agora podemos expressar um elemento do núcleo: $$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}-1/16\\ -13/8\\ 1\end{array}\right].$$ em que c é um escalar.

Como c é uma variável livre, a solução também pode ser expressa como $$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}-1\\ -26\\ 16\end{array}\right].$$

O núcleo de A é, precisamente, o conjunto de soluções para estas equações (neste caso, uma reta que passa pela origem em R³); o vetor (-1,-26,16)^T constitui uma base do núcleo de A. Assim, a nulidade de A é igual a 1.

Note também que os seguintes produtos escalares são nulos:

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ -26\\ 16\end{array}\right]=0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left[\begin{array}{ccc}-4& 2& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ -26\\ 16\end{array}\right]=0,$$

o que ilustra que os vetores no núcleo de A são ortogonais a cada um dos vetores linha de A.

Esses dois vetores linha (linearmente independentes) geram o espaço linha de A, um plano ortogonal ao vetor (-1,-26,16)^T.

Com o posto de A sendo 2, a nulidade de A sendo 1, e a dimensão de A sendo 3, tem-se a ilustração do teorema do posto e da nulidade.

Exemplos

• Se L: R^m → Rⁿ, então o núcleo de L é o conjunto solução de um sistema de equações lineares homogêneas. Como na ilustração acima, se L é o operador:

$$L(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+3x_2+5x_3,-4x_1+2x_2+3x_3)$$

então o núcleo de L é o conjunto de soluções das equações

$$\begin{array}{ccccccc}2x_1& +& 3x_2& +& 5x_3& =& 0\\ -4x_1& +& 2x_2& +& 3x_3& =& 0\end{array}$$

• Seja C[0,1] o espaço vetorial de todas as funções contínuas do intervalo [0,1] a valores reais, e defina L: C[0,1] → R pela regra

$$L(f)=f(0.3)\text{.}$$

Então o núcleo de L consiste de todas as funções f ∈ C[0,1] para as quais f(0.3) = 0.

• Deixe C^∞(R) o espaço vetorial de todas as funções R → R infinitamente diferenciáveis, e seja D: C^∞(R) → C^∞(R) o operador diferencial:

$$D(f)=\frac{df}{dx}\text{.}$$

Então o núcleo de D consiste de todas as funções em C^∞(R) cujas derivadas são nulas, ou seja, o conjunto de todas funções constantes.

• Seja R^∞ o produto direto de um número infinito de cópias de R, e seja s: R^∞ → R^∞ o operador shift

$$s(x_1,x_2,x_3,x_4,\dots )=(x_2,x_3,x_4,\dots )\text{.}$$

Então o núcleo de s é o subespaço unidimensional que consiste de todos os vetores (x₁, 0, 0, ...).

• Se V é um espaço com produto interno e W é um subespaço, o núcleo da projeção ortogonal de V → W é o complemento ortogonal de W em V.

Cálculo por eliminação gaussiana

Uma base do núcleo de uma matriz pode ser calculada por meio da eliminação de Gauss.

Para este efeito, dada uma matriz A de ordem m × n, pode-se construir a matriz aumentada por linhas $\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right],$ em que Predefinição:Math é a matriz identidade de ordem n × n.

Calculando-se sua forma escalonada reduzida por colunas através da eliminação de Gauss (ou qualquer outro método apropriado), obtém-se uma matriz $\left[\begin{array}{c}B\\ C\end{array}\right].$ Uma base do núcleo de A consiste nas colunas não-nulas de C tais que a coluna correspondente de B é uma coluna nula.

Na verdade, o cálculo também pode ser interrompido assim que a matriz superior estiver na forma escalonada por colunas: o restante do cálculo consiste em alterar a base do espaço vetorial gerado pelas colunas cuja parte superior é zero.

Por exemplo, suponha que $$A=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -3& 0& 2& -8\\ 0& 1& 5& 0& -1& 4\\ 0& 0& 0& 1& 7& -9\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$$ Então $$\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -3& 0& 2& -8\\ 0& 1& 5& 0& -1& 4\\ 0& 0& 0& 1& 7& -9\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$$ Colocando-se a parte superior na forma escalonada por colunas por meio de operações sobre as colunas de toda a matriz resulta que $$\left[\begin{array}{c}B\\ C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 3& -2& 8\\ 0& 1& 0& -5& 1& -4\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& -7& 9\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$$

As três últimas colunas de B são nulas. Portanto, os três últimos vetores de C,

$$\left[\begin{array}{c}3\\ -5\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ -7\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0\\ 9\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

formam uma base do núcleo de A.

A demonstração de que o método fornece o núcleo é a seguinte: Como as operações sobre as colunas correspondem a multiplicação à direita por matrizes invertíveis, o fato de que $\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]$ se reduz a $\left[\begin{array}{c}B\\ C\end{array}\right]$ significa que existe uma matriz invertível $P$ tal que $\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]P=\left[\begin{array}{c}B\\ C\end{array}\right],$ com $B$ na forma escalonada por colunas. Assim, $AP=B,$ $IP=C,$ e consequentemente $AC=B.$ Um vetor coluna $v$ pertence ao núcleo de $A$ (ou seja, $Av=0$) se, e somente se, $Bw=0,$ onde $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ Como $B$ está na forma escalonada por colunas, $Bw=0,$ se, e somente se, as entradas de $w$diferentes de zero correspondem às colunas nulas de $B.$ Multiplicando por $C$pode-se deduzir que este é o caso se, e somente se, $v=Cw$ é uma combinação linear das colunas correspondentes de $C.$

Cálculo numérico

O problema de calcular o núcleo em um computador depende da natureza dos coeficientes.

Coeficientes exatos

Se os coeficientes da matriz são números exatos, a forma escalonada reduzida por colunas da matriz pode ser calculada pelo algoritmo de Bareiss mais eficientemente do que com a eliminação de Gauss. É ainda mais eficiente usar a aritmética modular e o teorema chinês do resto, que reduz o problema a vários similares sobre corpos finitos (isso evita a sobrecarga induzida pela não-linearidade da complexidade computacional da multiplicação de inteiros). Predefinição:Carece de fontes

Para coeficientes em um corpo finito, a eliminação de Gauss funciona bem, mas para as matrizes grandes que ocorrem em criptografia e no cálculo de bases de Gröbner, são conhecidos algoritmos melhores, que têm aproximadamente a mesma complexidade computacional, mas são mais rápidos e comportar-se melhor no hardware de computadores modernos. Predefinição:Carece de fontes

Cálculo em ponto flutuante

Para matrizes cujas entradas são números de ponto flutuante, o problema de calcular o núcleo só faz sentido para matrizes em que o número de linhas é igual ao seu posto: devido aos erros de arredondamento, uma matriz de ponto flutuante quase sempre tem um posto cheio, mesmo quando é uma aproximação de uma matriz com um posto muito menor. Mesmo para uma matriz de posto cheio, só é possível calcular o seu núcleo se ela for bem condicionada, ou seja, se tem um número de condicionamento baixo.

Mesmo para uma matriz de posto completo bem condicionada, a eliminação gaussiana não se comporta corretamente: ela introduz erros de arredondamento que são grandes demais para a obtenção de um resultado significativo. Como o cálculo do núcleo de uma matriz é um caso especial da solução de um sistema homogêneo de equações lineares, o núcleo pode ser calculado por qualquer um dos vários algoritmos projetados para resolver sistemas homogêneos. Um software do estado da arte para esta finalidade é a biblioteca Lapack. Predefinição:Carece de fontes

Ver também

• Núcleo (álgebra)
• Raiz (matemática)
• Sistema de equações lineares
• Espaços linha e coluna
• Eliminação de Gauss
• Espaço vetorial
• Subespaço vetorial
• Operador linear
• Espaço funcional
• Alternativa de Fredholm

Referências

• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citation

Ligações externas

• Predefinição:SpringerEOM
• Gilbert Strang, Aula de Álgebra Linear do MIT Sobre Os Quatro Fundamental Subspaces no Google Vídeo, do MIT OpenCourseWare
• A Khan Academy, Introdução para o Espaço Nulo de uma Matriz