Teorema do núcleo e da imagem

Em matemática, mais especificamente em álgebra linear, o teorema do núcleo e da imagem, em sua forma mais simples, afirma que o posto e a nulidade de uma matriz têm como soma o número de colunas da matriz. Especificamente, se A é uma matriz m-por-n (com m linhas e n colunas) sobre um corpo, então: $$\mathrm{rk}(A)+\mathrm{nul}(A)=n.$$ Isto também se aplica a transformações lineares. Sejam V e W espaços vetoriais sobre algum corpo e seja Predefinição:Nowrap uma transformação linear. Então o posto de T é a dimensão da imagem de T e a nulidade de T é a dimensão do núcleo de T. Tem-se: $$\dim (\mathrm{im}(T))+\dim (\ker (T))=\dim (V),$$ ou, equivalentemente, $$\mathrm{rk}(T)+\mathrm{nul}(T)=\dim (V).$$ Pode-se refinar esta afirmação (por meio do lema de splitting ou a prova abaixo) para que seja sobre um isomorfismo de espaços, em vez de apenas sobre as respectivas dimensões.

Mais geralmente, pode-se considerar a imagem, o núcleo, a co-imagem e o co-núcleo, que estão relacionados pelo teorema fundamental da álgebra linear.

Demonstrações

Serão apresentadas duas demonstrações. A primeira utiliza a notação das transformações lineares, mas pode ser facilmente adaptada para matrizes escrevendo Predefinição:Nowrap, onde A é Predefinição:Nowrap. A segunda prova examina o sistema homogêneo Predefinição:Nowrap associado a uma matriz A Predefinição:Nowrap de posto r e mostra explicitamente que existe um conjunto de Predefinição:Nowrap soluções linearmente independentes que geram o espaço nulo de A. Essas provas também estão disponíveis no livro de Banerjee e Roy (2014)

Primeira demonstração: Suponha que $\{{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_m\}$ forma uma base de ker T. Pode-se estender esta base para formar uma base de V: $\{{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_m,{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n\}.$ Como a dimensão de ker T é m e a dimensão de V é Predefinição:Nowrap, é suficiente mostrar que a dimensão da Predefinição:Nowrap é n.

Para ver que $\{T{𝐰}_1,\dots ,T{𝐰}_n\}$ é uma base de Predefinição:Nowrap, seja v um vetor arbitrário em V. Existe uma única sequência de escalares tais que: $$𝐯=a_1{𝐮}_1+\cdots +a_m{𝐮}_m+b_1{𝐰}_1+\cdots +b_n{𝐰}_n$$ $$\Rightarrow T𝐯=a_{1}T{𝐮}_1+\cdots +a_{m}T{𝐮}_m+b_{1}T{𝐰}_1+\cdots +b_{n}T{𝐰}_n$$ $$\Rightarrow T𝐯=b_{1}T{𝐰}_1+\cdots +b_{n}T{𝐰}_n\because T{𝐮}_i=0$$ Assim, $\{T{𝐰}_1,\dots ,T{𝐰}_n\}$ gera Predefinição:Nowrap.

Agora, é preciso mostrar que esta lista não tem redundâncias; isto é, que $\{T{𝐰}_1,\dots ,T{𝐰}_n\}$ é linearmente independente. Pode-se fazer isso mostrando que uma combinação linear destes vetores é zero se, e somente se, os coeficientes de cada vetor são zero. Seja: $$c_{1}T{𝐰}_1+\cdots +c_{n}T{𝐰}_n=0\iff T(c_1{𝐰}_1+\cdots +c_n{𝐰}_n)=0$$ $$\therefore c_1{𝐰}_1+\cdots +c_n{𝐰}_n\in \ker T$$ Então, como u_i geram ker T, existe um conjunto de escalares d_i tais que: $$c_1{𝐰}_1+\cdots +c_n{𝐰}_n=d_1{𝐮}_1+\cdots +d_m{𝐮}_m$$ Mas, como $\{{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_m,{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n\}$ é uma base de V, todos os c_i, d_i devem ser zero. Portanto, $\{T{𝐰}_1,\dots ,T{𝐰}_n\}$ é linearmente independente e de fato uma base de Predefinição:Nowrap. Isto prova que a dimensão de Predefinição:Nowrap é n, como desejado.

Em termos mais abstratos, a aplicação Predefinição:Nowrap cinde.

Segunda demonstração: Seja A uma matriz Predefinição:Nowrap com r colunas linearmente independentes (isto é o posto de A é r). Será mostrado que: (i) existe um conjunto de Predefinição:Nowrap soluções linearmente independentes para o sistema homogêneo Predefinição:Nowrap, e (ii) que toda outra solução é uma combinação linear destas Predefinição:Nowrap soluções. Em outras palavras, será produzida uma matriz X de ordem Predefinição:Nowrap cujas colunas formam uma base do espaço nulo de A.

Sem perda de generalidade, assuma que as primeiras r colunas de A são linearmente independentes. Então, pode-se escrever Predefinição:Nowrap, em que A₁ é Predefinição:Nowrap com r vetores colunas linearmente independentes e A₂ é Predefinição:Nowrap, sendo cada uma de suas Predefinição:Nowrap colunas combinações lineares das colunas de A₁. Isto significa que Predefinição:Nowrap para alguma matriz B (ver fatoração de posto) e, assim, Predefinição:Nowrap. Seja $𝐗=\left(\begin{array}{c}-𝐁\\ {𝐈}_{n-r}\end{array}\right),$ em que ${𝐈}_{n-r}$ é a matriz matriz identidade (n − r) × (n − r). Note que X é uma matriz Predefinição:Nowrap que satisfaz $$𝐀𝐗=[{𝐀}_1:{𝐀}_1𝐁]\left(\begin{array}{c}-𝐁\\ {𝐈}_{n-r}\end{array}\right)=-{𝐀}_1𝐁+{𝐀}_1𝐁=𝐎.$$ Portanto, cada uma das Predefinição:Nowrap colunas de X são soluções particulares de Predefinição:Nowrap. Além disso, as Predefinição:Nowrap colunas de X são linearmente independentes, pois Predefinição:Nowrap implica Predefinição:Nowrap: $$𝐗𝐮=\mathrm{𝟎}\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-𝐁\\ {𝐈}_{n-r}\end{array}\right)𝐮=\mathrm{𝟎}\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-𝐁𝐮\\ 𝐮\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}\end{array}\right)\Rightarrow 𝐮=\mathrm{𝟎}.$$ Portanto, os vetores coluna de X constituem um conjunto de n − r soluções linearmente independentes de Ax = 0.

A seguir será provado que qualquer solução de Predefinição:Nowrap tem de ser uma combinação linear das colunas de X. Para isso, seja $𝐮=\left(\begin{array}{c}{𝐮}_1\\ {𝐮}_2\end{array}\right)$ qualquer vetor tal que Predefinição:Nowrap. Note que como as colunas de A₁ são linearmente independentes, Predefinição:Nowrap implica Predefinição:Nowrap. Portanto, $$𝐀𝐮=\mathrm{𝟎}\Rightarrow [{𝐀}_1:{𝐀}_1𝐁]\left(\begin{array}{c}{𝐮}_1\\ {𝐮}_2\end{array}\right)=\mathrm{𝟎}\Rightarrow {𝐀}_1({𝐮}_1+𝐁{𝐮}_2)=\mathrm{𝟎}\Rightarrow {𝐮}_1+𝐁{𝐮}_2=\mathrm{𝟎}\Rightarrow {𝐮}_1=-𝐁{𝐮}_2$$ $$\Rightarrow 𝐮=\left(\begin{array}{c}{𝐮}_1\\ {𝐮}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-𝐁\\ {𝐈}_{n-r}\end{array}\right){𝐮}_2=𝐗{𝐮}_2.$$ Isso prova que qualquer vetor u que é uma solução de Predefinição:Nowrap tem de ser uma combinação linear das Predefinição:Nowrap soluções especiais dadas pelas colunas de X. E já foi mostrado que as colunas de X são linearmente independentes. Assim, as colunas de X constituem uma base para o espaço nulo de A. Por conseguinte, a nulidade de A é Predefinição:Nowrap. Como r é igual ao posto de A, segue-se que Predefinição:Nowrap. QED.

Reformulações e generalizações

Este teorema é uma instância do primeiro teorema de isomorfismo da álgebra para o caso de espaços vetoriais; ele se generaliza para o splitting lemma.

Em uma linguagem mais moderna, o teorema também pode ser expresso como segue:

0 → U → V → R → 0

é uma sequência exata curta de espaços vetoriais, então

dim(U) + dim(R) = dim(V).

Aqui R desempenha o papel de im T e U é o ker T, isto é $$0\to \ker T\stackrel{Id}{\to }V\stackrel{T}{\to }\mathrm{im}T\to 0$$ No caso de dimensão finita, esta formulação é suscetível a uma generalização: se

0 → V₁ → V₂ → ... → V_r → 0

é uma sequência exata de espaços vetoriais de dimensão finita, então $$\sum _{i=1}^r(-1{)}^i\dim (V_i)=0.$$ O teorema do núcleo e da imagem para espaços vetoriais de dimensão finita também podem ser formulado em termos do índice de uma transformação linear. O índice de uma transformação linear Predefinição:Nowrap, em que V e W têm dimensão finita, é definido por

índice T = dim(ker T) − dim(coker T).

Intuitivamente, dim(ker T) é o número de soluções independentes x da equação Predefinição:Nowrap e dim(coker T) é o número de restrições independentes que devem ser impostas sobre y que Predefinição:Nowrap tenha solução. O teorema do núcleo e da imagem para espaços vetoriais de dimensão finita é equivalente à afirmação de que

índice T = dim(V) − dim(W).

Pode-se obter o índice da transformação linear T a partir dos espaços envolvidos, sem a necessidade de se analisar T em detalhe. Este efeito também ocorre em um resultado muito mais profundo: o teorema do índice de Atiyah–Singer afirma que o índice de certos operadores diferenciais pode ser obtido da geometria dos espaços envolvidos.

Referências

• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation.