Integral Gaussiana

O gráfico de ƒ(x) = e^−x2 e a área entre a função e o eixo x, que vale $\sqrt{\pi }$.

A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a integral da função Gaussiana e^−x2 em toda a reta real. Seu nome é dado em homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de interesse.

A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral indefinida elementar para $\int e^{-x^2}dx$, mas a integral definida ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx$ pode ser calculada.

Generalizações

A integral de uma função gaussiana

A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(x+b{)}^2/c^2}dx=c\sqrt{\pi }.$

ou de forma equivalente

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2+bx+c}dx=\sqrt{\pi }{e}^{b^2/4+c},$

Demonstração

Em coordenadas polares

Uma forma simples se calcular, cuja ideia remonta a Siméon Denis Poisson é considerar a função e^{−(x2 + y2)} = e^−r2 no plano R², e calcular a mesma integral de duas formas:

• por um lado, a integral dupla no sistema de coordenadas cartesiano se escreve como um quadrado de integrais :

${(\int e^{-x^2}dx)}^2;$

• por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e vale $\pi$.

Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado.

Resolução

A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma:

Denotaremos a integral por $I$, como se segue:

$I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx.$

Essa integral é mais facilmente resolvida se a multiplicarmos pela Integral

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy.$

Observemos que essa multiplicação nos dá $I^2$, pois os valores das duas integrais em $y$ e em $x$ são exatamente os mesmos.

$I^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}{e}^{-y^2}dxdy$

$I^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2}dxdy$.

A etapa seguinte consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que $-x^2-y^2=-(x^2+y^2)=-r^2$. É coerente notar que a região de integração é todo o plano $xy$ , portanto $r$ deve percorrer de 0 até $\mathrm{\infty }$ e o ângulo $\theta$ de 0 à 2$\pi$ . Assim a integral

$I^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2}dxdy=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}rdrd\theta$

é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator $r$ que, utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de Integração) , será cancelado com o quociente 2$r$. Podemos recorrer ao Teorema de Fubini calculando primeiramente a integral em $r$ e depois integrando o resultado em $\theta$ da seguinte forma :

$u=-r^2$

$du=-2rdr$

$-\frac{du}{2r}=dr$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}rdr=-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{u}r\frac{du}{2r}=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{u}du=-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}{|}_0^{\mathrm{\infty }}=-\frac{1}{2}(0-1)=\frac{1}{2}.$

Teremos então:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}rdrd\theta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{1}{2}d\theta =\frac{1}{2}(2\pi -0)=\pi .$

Portanto, finalizando a resolução, concluímos que:

$I^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2-y^2}dxdy=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}rdrd\theta =\pi$

$I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Ver também

• Distribuição normal

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld