Argumento (matemática)

Um número complexo pode ser visualmente representado como um ponto localizado no plano complexo. O valor do ângulo $\phi$ é o argumento do número complexo $z=x+iy$.

Na matemática, argumento, abreviado como arg, de um número complexo z é o ângulo compreendido entre o eixo real positivo no plano complexo e a reta que une z com a origem deste plano.

Definição

O argumento é definido em dois caminhos equivalentes:

• Geometricamente, na relação do plano complexo, Predefinição:Math é o ângulo Predefinição:Mvar no eixo dos reais positivos representado pelo vetor Predefinição:Mvar. O valor numérico é dado pelo ângulo em radianos e é positivo se medido no sentido anti-horário.
• Algebricamente, um argumento de um número complexo Predefinição:Math é qualquer valor real $\varphi$ tal que

$z=x+iy=r\cos \varphi +ir\sin \varphi$

para algum real positivo Predefinição:Mvar. A unidade Predefinição:Mvar é o módulo de Predefinição:Mvar, escrito como

$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Os termos amplitude ou fase são usados, às vezes, para representar essa igualdade.

Sob ambas as definições, pode ser observado que o argumento de qualquer número complexo diferente de zero tem muitos valores possíveis: primeiramente, como um ângulo geométrico, é evidente que todas as rotações do círculo não alteram o ponto, de modo que ângulos diferentes por um número inteiro múltiplo de Predefinição:Math radianos (um círculo completo) são os mesmos. Da mesma forma, a partir da periodicidade do seno e cosseno, a segunda definição também tem essa propriedade.

Notação

A notação para o argumento não é universal. Todavia, é comum denotá-lo como $\arg (z)$.

Formas de cálculo

O argumento de um número complexo $z$ pode ser obtido de diversas maneiras, dentre as quais:

• Dado $z=a+bi$ (forma retangular), podemos obter $\arg (z)=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$;
• dado $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$ (forma polar e forma exponencial), temos $\arg (z)=\theta$.
• dado $z=a+bi$ e sabendo que $cos\theta =\frac{a}{|z|}$ e $sen\theta =\frac{b}{|z|}$, onde $|z|$ é distância entre $O$ e o ponto $Z$; buscamos os valores de sen e cos e assim acharemos na tabela trigonométrica qual ângulo possui esses valores para seno e cosseno.