Teste da raiz

Predefinição:Sem fontes O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

Enunciado

Seja $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ uma série numérica e a constante $k$ definida pelo limite:

• $k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}$

Então:

• Se $k<1$, a série converge absolutamente
• Se $k>1$ ou $k=1^{+}$, a série não converge
• Se $k=1^{-}$, nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de $k$ por:

• $k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}$

Exemplo

Considere a série dada por:

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2}{2^n}$

$k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}=\frac{1}{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n^2}=\frac{1}{2}<1$

Portanto a série converge.

Exemplo 2

Considere a série dada por:

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n(-1{)}^n}$

$k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{|2^{n(-1{)}^n}|}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{|(2^{(-1{)}^n}{)}^n|}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{|2^{(-1{)}^n}{|}^n}=$

$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|2^{(-1{)}^n}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$, em que:

$b_n=\{\begin{array}{cc}2,& \text{se n par}\\ \frac{1}{2},& \text{se n ímpar }\end{array}$

Então $b_n$ não tem limite, ou seja, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$ não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

$k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(b_n)=2>1$

Como $2>1$ a série é divergente.

Demonstração para k<1

Seja:

$k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}$

Escolha $\epsilon =\frac{1-k}{2}$ Como $k<1$, $\epsilon >0$ e, portanto, existe um $N>0$ tal que:

$\sqrt[n]{|a_n|}<k+\epsilon ,n>N$

De forma que:

$\sqrt[n]{|a_n|}<k+\epsilon <k+\frac{1-k}{2}=1+\frac{k-1}{2}=1-\epsilon <1$

Assim, $|a_n|<(1-\epsilon {)}^n,n>N$ e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão $q=1-\epsilon <1$

Demonstração para k>1

Se $k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}>1$, então existe u > 1 e uma subseqüência $\{a_{n_j}{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que:

$\sqrt[n_j]{|a_{n_j}|}\ge u,\mathrm{\forall }j=1,2,3,\dots$

E imediatamente:

$|a_{n_j}|\ge u^{n_j},\mathrm{\forall }j=1,2,3,\dots$

E portanto, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_n|=\mathrm{\infty }$

Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.