Teste da divergência

Predefinição:Sem fontes Em matemática, o teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge, então seu termo geral $a_n$ converge para zero.

Demonstração

Considere as somas parciais $S_N$

$S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n$ Queremos mostrar que a convergência de $S_N$ implica que o limite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ exista e seja nulo.

Como a seqüência $S_N$ é convergente, ela também é uma seqüência de Cauchy (pois estes conceitos são equivalentes em espaços métricos completos). Logo temos que para todo $k$ positivo, vale o limite:

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_{N+k}-S_N)=0$

O teorema do termo geral é o caso particular em que $k=1$, pois:

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_{N+1}-S_N)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{N+1}=0$

O que completa a demonstração.

Outra demonstração

Se o limite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_N$ existe, então:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{n-1}$

E

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_n-S_{n-1})=S-S=0$

A recíproca não é verdadeira

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

onde o termo geral $\frac{1}{n}$ tende a zero, mas a soma diverge.

Se o termo geral converge a zero o teste é inconclusivo

Quando o limite do termo geral vai a zero a série pode convergir ou divergir, o que torna o teste inconclusivo. No parágrafo anterior vimos o exemplo da série harmônica que diverge e o termo geral vai a zero. Resta mostrar um exemplo de uma série que converge e o termo geral também vai a zero. Um exemplo deste tipo é série geométrica de razão 1/2 a seguir:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$.