Prova direta

Predefinição:Sem fontes Na matemática e lógica, uma prova direta é uma forma de mostrar que certa afirmação é falsa ou verdadeira através de uma combinação de axiomas, lemas e teoremas já estabelecidos. Em cada passo, usa-se implicação "Se p, então q" com p sendo verdadeiro.

Exemplo

Este exemplo ilustra a diferença entre um prova direta e uma prova por contradição, dita indireta. Considere o teorema da desigualdade das médias: Se p e q são números reais não-negativos então:

\sqrt{p q} \leq \frac{p + q}{2}

(p - q)^{2} \geq 0

expandindo:

p^{2} - 2 p q + q^{2} \geq 0

somando 4pq a cada lado:

p^{2} + 2 p q + q^{2} \geq 4 p q

fatorando:

(p + q)^{2} \geq 4 p q

extraínda a raiz quadrada (aqui se usa que $p + q \geq 0$ e $p q \geq 0$ ):

(p + q) \geq 2 \sqrt{p q}

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\frac{p + q}{2} \geq \sqrt{p q}

o o resultado segue.

Suponha, por absurdo, que existem dois números reais não negativos p e q tais que:

\sqrt{p q} > \frac{p + q}{2}

então, tomando quadrados, temos:

p q > \frac{(p + q)^{2}}{4}

o que implica:

4 p q > p^{2} + 2 p q + q^{2}

ou, reescrevendo:

0 > p^{2} - 2 p q + q^{2}

fatorando o lado direito:

0 > (p - q)^{2}

o que é um absurdo pois : $(p - q)^{2} \geq 0$ .