Representação bolo de camadas

Na teoria da medida, a representação bolo de camadas de uma função real mensurável não-negativa f definida no espaço de medida X é dada pela fórmula

$f(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{f(x)>t}(x)\mathrm{d}t\text{ para todo }x\in X,$

onde ${\chi }_{f(x)>t}$ denota a função indicadora (ou função característica) do subconjunto E dado por

$E=\{x\in X:f(x)>t\}$

A representação fatia de de bolo vem facilmente da seguinte expressão:

$f(x)=\underset{0}{\overset{f(x)}{\int }}\mathrm{d}t.$

A representação fatia de bolo pode ser usada para produzir a seguinte expressão para a integral de uma função não-negativa:

$\underset{E}{\int }f(x)d\mu =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mu \left(\{x\in X:f(x)>t\}\right)dt.$