Teorema de Stone-Weierstrass

Em matemática, o teorema da aproximação de Stone-Weierstrass afirma que toda função real contínua cujo domínio é um intervalo compacto, ou seja, fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinômios.

Várias generalizações deste teorema foram estabelecidas, como, por exemplo, generalizando a família de aproximantes (que podem ser substituídos por qualquer álgebra de funções com certas propriedades) ou substituindo o domínio por um compacto qualquer.

Demonstração da versão real

A versão real deste teorema admite uma demonstração construtiva simples usando os polinômios de Bernstein.

Seja $f:[a,b]\to 𝐑$ uma função contínua. Então para todo $\epsilon >0$, existe um polinômio $P(x)$ tal que:

$\Vert P(x)-f(x){\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}[a,b]}\le \epsilon$, ou seja: $|P(x)-f(x)|\le \epsilon ,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$.

Dem.: Sem perda de generalidade, podemos supor $a=0$ e $b=1$.

Primeiramente, estabeleçamos uma estimativa:

$\begin{array}{ccc}\sum _{i=0}^n{(x-i/n)}^2{B}_i^n& =& x^2\sum _{i=0}^n{B}_i^n-2x\sum _{i=0}^{n}i/n{B}_i^n+\sum _{i=0}^n(i/n{)}^2{B}_i^n\\ & =& x^2-2x^2+\frac{(n-1)}{n}{x}^2+\frac{x}{n}=\frac{x-x^2}{n}\le \frac{1}{4n},x\in [0,1]\end{array}$ (Veja polinómios de Bernstein)

Como $f(x)$ é uma função contínua em um compacto, $f(x)$ é também uniformemente contínua. Logo existe $\delta >0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\epsilon /2$ sempre que $|x-y|<\delta$ e $0\le x,y\le 1$ e ainda existe uma constante $M$ tal que $|f(x)|\le M$.

Agora, defina:

$P_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)B_i^n(x)$

Como $\sum _{i=0}^n{B}_i^n(x)=1$, vale que $f(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x)B_i^n(x)$ e vale a estimativa:

$\begin{array}{ccc}|f(x)-P_n(x)|& \le & \sum _{i=0}^n|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)|B_i^n(x)\\ & =& \sum _{S_1}|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)|B_i^n(x)+\sum _{S_2}|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)|B_i^n(x)\end{array}$

onde $S_1=\{0\le i\le n:|x-i/n|<\delta \}$ e $S_2=\{0\le i\le n:|x-i/n|\ge \delta \}$.

$\sum _{S_1}|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)|B_i^n(x)\le \sum _{S_1}\epsilon /2B_i^n(x)\le \epsilon /2\sum _{i=1}^n{B}_i^n(x)=\epsilon /2$

$\begin{array}{ccc}\sum _{S_2}|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)|B_i^n(x)& \le & 2M\sum _{S_2}{B}_i^n(x)\le 2M\sum _{S_2}\frac{(x-i/n{)}^2}{{\delta }^2}{B}_i^n(x)\\ & \le & \frac{2M}{{\delta }^2}\sum _{i=0}^n(x-i/n{)}^2{B}_i^n(x)\le \frac{M}{2{\delta }^{2}n}<ϵ/2,\text{ se }n>M/\epsilon {\delta }^2\end{array}$

E o resultado segue, escolhendo $n>M/\epsilon {\delta }^2$ e $P(x):=P_n(x)$.