Derivada direcional

Em matemática, a derivada direcional de uma função multivariável diferenciável ao longo de um dado vetor v em um dado ponto x intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função, movendo-se através de x com uma velocidade especificada por v. Ela, portanto, generaliza a noção de derivada parcial, em que a taxa de mudança é tomada ao longo de uma curva em um sistema de coordenadas curvilíneo, com todas as outras coordenadas sendo constantes.

A derivada direcional é um caso especial da derivada de Gâteaux.

Notação

Seja τ uma curva cujo vetor tangente em algum ponto escolhido é v. A derivada  direcional de uma função f em relação a v pode ser representada das seguintes maneiras:

• ${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱),$
• $f{\text{'}}_{𝐯}(𝐱),$
• $D_{𝐯}f(𝐱),$
• $Df(𝐱)(𝐯),$
• ${\partial }_{𝐯}f(𝐱),$
• $\frac{\partial f(𝐱)}{\partial \tau },$
• $𝐯\cdot \mathrm{\nabla }f(𝐱),$
• $𝐯\cdot \frac{\partial f(𝐱)}{\partial 𝐱}.$

Definição

A derivada direcional de uma função da forma $z=f(x,y)$ na direção $\overrightarrow{u}$ tem por definição:

$D\overrightarrow{u}f(x,y)=\frac{df}{dx}\text{u1}+\frac{df}{dy}\text{u2}$

Também pode ser escrita como o produto escalar: $D\overrightarrow{u}f(x,y)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\cdot \overrightarrow{u}$

Essa definição foi estabelecida para duas dimensões, mas pode ser generalizada para três dimensões. Teremos, portanto, uma função de três variáveis, w = f (x, y, z), que pode ser representada graficamente num sistema de coordenadas retangulares.

Esse produto escalar entre o gradiente de f e um vetor unitário $\overrightarrow{u}$ tem grandes implicações na matemática. Sejam algumas delas:

• A derivada direcional será máxima e igual ao módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f$ e $\overrightarrow{u}$ for igual a zero.

$D\overrightarrow{u}f(x,y)=\left|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\right|\left|\overrightarrow{u}\right|\cos 0^{\circ }\therefore D\overrightarrow{u}f(x,y)=\left|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\right|$

• A derivada direcional será mínima e igual a menos o módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f$ e $\overrightarrow{u}$ for igual a 180°.

$D\overrightarrow{u}f(x,y)=\left|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\right|\left|\overrightarrow{u}\right|\cos 180^{\circ }\therefore D\overrightarrow{u}f(x,y)=-\left|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\right|$

• A derivada direcional será nula se $f(x,y)$ for uma curva de nível representada por $f(x,y)=k$ e $\overrightarrow{u}$ for um vetor tangente à curva de nível. Observando o produto escalar $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f\cdot \overrightarrow{u}=0$ temos uma condição de perpendicularidade entre $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f$ e $\overrightarrow{u}$, o que prova que o gradiente será normal à curva de nível $f(x,y)=k$.

Usando apenas a direção do vetor

O ângulo α entre a tangente A e a horizontal será máximo se o plano de corte contém a direção do gradiente de A.

Em um espaço Euclidiano, alguns autores definem a derivada direcional como sendo relacionada a um vetor v arbitrário e não nulo depois de normalizado, sendo, pois, independente de sua magnitude e dependendo apenas de sua direção.

Esta definição fornece a taxa de crescimento de f por unidade de distância movida na direção dada por v. Neste caso, tem-se que

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝐱+h𝐯)-f(𝐱)}{h|𝐯|},$

ou no caso de f ser diferenciável em x,

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)=\mathrm{\nabla }f(𝐱)\cdot \frac{𝐯}{|𝐯|}.$

Restrição para um vetor unitário

No contexto de uma função em um espaço Euclidiano, alguns textos restringem o vetor v a ser um vetor unitário. Com esta restrição, ambas as definições acima são equivalentes.

Propriedades

Muitas das propriedades familiares da derivada ordinária são mantidas para a derivada direcional. Estes incluem, para quaisquer funções f e g definidas e diferenciáveis em um ponto p, bem como em sua vizinhança: Predefinição:Ordered list

Em geometria diferencial

Seja Predefinição:Math uma variedade diferenciável e Predefinição:Math um ponto de Predefinição:Math. Suponha que Predefinição:Math é uma função definida em uma vizinhança de Predefinição:Math, e diferenciável em Predefinição:Math. Se Predefinição:Math é um vetor tangente a Predefinição:Math em Predefinição:Math, então a derivada direcional de Predefinição:Math ao longo de Predefinição:Math, denotada alternativamente como Predefinição:Math, (consulte a derivada Covariante), (consulte a Derivada de Lie), ou, pode ser definido como se segue. Deixe Predefinição:Math ser uma curva diferenciável com Predefinição:Math e Predefinição:Math. Então a derivada direcional é definida por

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐩)={\frac{d}{d\tau }f\circ \gamma (\tau )|}_{\tau =0}.$

Esta definição pode ser comprovada independentemente da escolha de Predefinição:Math, desde que Predefinição:Math seja selecionado da maneira descrita de modo que Predefinição:Math.

A derivada de Lie

A derivada de Lie de um campo de vetores ao longo de um campo de vetores é dada pela diferença de duas derivadas direcionais:

${ℒ}_V{W}^{\mu }=(V\cdot \mathrm{\nabla })W^{\mu }-(W\cdot \mathrm{\nabla })V^{\mu }.$

Em particular, para um campo escalar a derivada de Lie reduz-se à derivada direcional padrão:

${ℒ}_V\varphi =(V\cdot \mathrm{\nabla })\varphi .$

O tensor de Riemann

Derivadas direcionais são usadas frequentemente em derivações introdutórias do tensor de curvatura de Riemann. Considere um retângulo curvado com um vetor infinitesimal δ ao longo de uma borda e δ′ ao longo da outra. Transladamos um covetor S ao longo de δ, em seguida, δ′ e, em seguida, subtraímos a translação ao longo de δ′ e, em seguida, de δ. Em vez de construir a derivada direcional usando derivadas parciais, usamos a derivada covariante. O operador de translação para δ é portanto

$1+\sum _{\nu }{\delta }^{\nu }{D}_{\nu }=1+\delta \cdot D,$

e para δ′,

$1+\sum _{\mu }\delta {\text{'}}^{\mu }{D}_{\mu }=1+{\delta }^{\prime }\cdot D.$

A diferença entre os dois caminhos é, então,

$(1+{\delta }^{\prime }\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+{\delta }^{\prime }\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta {\text{'}}^{\mu }{\delta }^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.$

Pode-se argumentar que a não comutatividade das derivadas covariantes mede a curvatura da variedade:

$[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }{R}^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }{S}_{\sigma },$

onde R é o tensor de curvatura de Riemann e o sinal depende da convenção de sinais do autor.

Na teoria dos grupos

Translações

Na álgebra de Poincaré, podemos definir um operador de translação infinitesimal P como

$𝐏=i\mathrm{\nabla }.$

(o i assegura que P é um operador autoadjunto). Para um deslocamento finito λ, a representação  unitária do espaço de Hilbert para translações é

$U(\mathit{\lambda })=\exp (-i\mathit{\lambda }\cdot 𝐏).$

Usando a definição acima de operador de translação infinitesimal, vemos que o operador de translação finita é o exponencial de uma derivada direcional:

$U(\mathit{\lambda })=\exp (\mathit{\lambda }\cdot \mathrm{\nabla }).$

Este é um operador de translação, no sentido em que ele atua sobre funções multivariadas f(x) como

$U(\mathit{\lambda })f(𝐱)=\exp (\mathit{\lambda }\cdot \mathrm{\nabla })f(𝐱)=f(𝐱+\mathit{\lambda }).$

Prova da última equação

A derivada de uma função suave f(x) é definida por (para um termo ε pequeno) $\frac{df}{dx}=\frac{f(x+ϵ)-f(x)}{ϵ}.$ Isto pode ser rearranjado para encontrar f(x+ε): $f(x+ϵ)=f(x)+ϵ\frac{df}{dx}=(1+ϵ\frac{d}{dx})f(x).$ Daí, $[1+ϵ(d/dx)]$ é uma operador de translação. Isto é instantaneamente generalizado para de funções com diversas variáveis f(x) $f(𝐱+\mathit{ϵ})=(1+\mathit{ϵ}\cdot \mathrm{\nabla })f(𝐱).$ Aqui $\mathit{ϵ}\cdot \mathrm{\nabla }$ é a derivada direcional ao longo do deslocamento infinitesimal ε. Encontramos a versão infinitesimal do operador translacional: $U(\mathit{ϵ})=1+\mathit{ϵ}\cdot \mathrm{\nabla }.$ É evidente que a lei de multiplicação do grupo U(g)U(f)=U(gf) assume a forma $U(𝐚)U(𝐛)=U(𝐚\mathbf{+}𝐛).$ Então, suponha-se que tomemos um deslocamento finito λ e dividamos em N partes (N→∞ é implicado em todos os lugares), assim λ/N=ε. Em outras palavras, $\mathit{\lambda }=N\mathit{ϵ}.$ Então, aplicando U(ε) N vezes, podemos construir U(λ): $[U(\mathit{ϵ}){]}^N=U(N\mathit{ϵ})=U(\mathit{\lambda }).$ Agora podemos conectar na expressão acima em U(ε): $[U(\mathit{ϵ}){]}^N={[1+\mathit{ϵ}\cdot \mathrm{\nabla }]}^N={[1+\frac{\mathit{\lambda }\cdot \mathrm{\nabla }}{N}]}^N.$ Usando a identidade $\exp (x)={[1+\frac{x}{N}]}^N,$ obtemos $U(\mathit{\lambda })=\exp (\mathit{\lambda }\cdot \mathrm{\nabla }).$ Uma vez que U(ε)f(x)=f(x+ε), vamos encontrar $[U(\mathit{ϵ}){]}^{N}f(𝐱)=f(𝐱+N\mathit{ϵ})=f(𝐱+\mathit{\lambda })=U(\mathit{\lambda })f(𝐱)=\exp (\mathit{\lambda }\cdot \mathrm{\nabla })f(𝐱),$ Q.E.D. Como uma nota técnica, este procedimento só é possível porque o grupo de translação forma um subgrupo abeliano (subálgebra de Cartan) na álgebra de Poincaré. Em particular, a lei multiplicativa do grupo U(a)U(b)=U(a+b) não deve ser considerada. Também podemos notar que Poincaré é um grupo de Lie conectado. É um grupo de transformação T(ξ) que é descrito por um conjunto contínuo de parâmetros reais ${\xi }^a$. A lei multiplicativa do grupo assume a foma $T(\overline{\xi })T(\xi )=T(f(\overline{\xi },\xi )).$ Tomando ${\xi }^a$=0 como as coordenadas da identidade, temos $f^a(\xi ,0)=f^a(0,\xi )={\xi }^a.$ Os operadores no espaço de Hilbert são representados pelos operadores unitários U(T(ξ)). Na notação acima, foi suprimido o T; agora vamos escrever U(λ) como U(P(λ)). Para as vizinhança próxima à identidade, a série de potências pode ser representada como $U(T(\xi ))=1+i\sum _a{\xi }^a{t}_a+\frac{1}{2}\sum _{b,c}{\xi }^b{\xi }^c{t}_{bc}+\cdots$ Suponha que U(T(ξ)) forma uma representação sem projeção, isto é, $U(T(\overline{\xi }))U(T(\xi ))=U(T(f(\overline{\xi },\xi ))).$ A expansão de f à segunda potência é $f^a(\overline{\xi },\xi )={\xi }^a+{\overline{\xi }}^a+\sum _{b,c}{f}^{abc}{\overline{\xi }}^b{\xi }^c.$ Depois de expandir a equação de multiplicação de representação e equacionando os coeficientes, temos a condição não trivial $t_{bc}=-t_b{t}_c-i\sum _a{f}^{abc}{t}_a.$ Uma vez que $t_{ab}$ é por definição simétrica em seus índices, nós vamos ter o comutador padrão da álgebra de Lie: $[t_b,t_c]=i\sum _a(-f^{abc}+f^{acb})t_a=i\sum _a{C}^{abc}{t}_a,$ sendo C a constante de estrutura. Os geradores para translação são operadores de derivadas parciais, que comutam: $[\frac{\partial }{\partial x^b},\frac{\partial }{\partial x^c}]=0.$ Isso implica que as constantes de estrutura somem e então os coeficientes quadráticos na expansão de f somem também, o que significa que f é simplesmente aditiva: $f_{\text{abelian}}^a(\overline{\xi },\xi )={\xi }^a+{\overline{\xi }}^a,$ e então para grupos abelianos, $U(T(\overline{\xi }))U(T(\xi ))=U(T(\overline{\xi }+\xi )).$ Q.E.D.

Rotações

O operador rotacional também contém uma derivada direcional. O operador rotacional de um ângulo θ, isto é, por uma quantidade θ=|θ| em torno de um eixo paralelo a =θ/θ é

$U(R(\mathit{\theta }))=\exp (-i\mathit{\theta }\cdot 𝐋).$

Aqui L é o operador vetorial que gera SO(3):

$𝐋=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)𝐢+\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)𝐣+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)𝐤.$

Pode ser demonstrado geometricamente que uma rotação infinitesimal dextrógira altera a posição do vetor x por

$𝐱\to 𝐱-\delta \mathit{\theta }\times 𝐱.$

Assim, nós esperaríamos de uma rotação infinitesimal:

$U(R(\delta \mathit{\theta }))f(𝐱)=f(𝐱-\delta \mathit{\theta }\times 𝐱)=f(𝐱)-(\delta \mathit{\theta }\times 𝐱)\cdot \mathrm{\nabla }f.$

Segue que

$U(R(\delta \mathit{\theta }))=1-(\delta \mathit{\theta }\times 𝐱)\cdot \mathrm{\nabla }.$

Seguindo o mesmo procedimento de exponenciação acima, chegamos no operador rotacional na posição base, que é o exponencial de uma derivada direcional:

$U(R(\mathit{\theta }))=\exp (-(\mathit{\theta }\times 𝐱)\cdot \mathrm{\nabla }).$

Derivada normal

Uma derivada normal é uma derivada direcional tomada na direção normal (isto é, ortogonal) a alguma superfície no espaço, ou, mais geralmente, ao longo de um campo vetorial normal a alguma hipersuperfície. Veja, por exemplo, a condição de contorno de Neumann. Se a direção normal é denotada por $𝐧$, então a derivada direcional de uma função f é às vezes denotada por $\frac{\partial f}{\partial n}$. Em outras notações,

$\frac{\partial f}{\partial 𝐧}=\mathrm{\nabla }f(𝐱)\cdot 𝐧={\mathrm{\nabla }}_{𝐧}f(𝐱)=\frac{\partial f}{\partial 𝐱}\cdot 𝐧=Df(𝐱)[𝐧].$

Na mecânica contínua de sólidos

Vários resultados importantes em mecânica contínua exigem as derivadas de vetores em relação aos vetores e de tensores em relação aos vetores e tensores. A derivada direcional proporciona uma forma sistemática de encontrar essas derivadas.

As definições de derivadas direcionais para várias situações são dadas abaixo. Presume-se que as funções são suficientemente suaves para que as derivadas possam ser tomadas.

Derivadas de funções vetoriais com imagem escalar

Seja $f(𝐯)$ uma função com imagem real do vetor $𝐯$. Então a derivada de $f(𝐯)$ em relação a $𝐯$ na direção $𝐮$ é definida como

$\frac{\partial f}{\partial 𝐯}\cdot 𝐮=Df(𝐯)[𝐮]={[\frac{d}{d\alpha }f(𝐯+\alpha 𝐮)]}_{\alpha =0}$

para todos os vetores $𝐮$.

Propriedades: Predefinição:Ordered list

Derivadas funções vetoriais com imagem vetorial

Seja $𝐟(𝐯)$ uma função, com imagem vetorial, do vetor $𝐯$. Então a derivada de $𝐟(𝐯)$ em relação a $𝐯$ na direção $𝐮$ é o tensor de segunda ordem definido como

$\frac{\partial 𝐟}{\partial 𝐯}\cdot 𝐮=D𝐟(𝐯)[𝐮]={[\frac{d}{d\alpha }𝐟(𝐯+\alpha 𝐮)]}_{\alpha =0}$

para todos os vetores $𝐮$.

Propriedades: Predefinição:Ordered list

Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem escalar

Seja $f(𝐒)$ uma função com imagem real do tensor de segunda ordem $𝐒$. Então a derivada de $f(𝐒)$ em relação à $𝐒$ na direção $𝐓$ é o tensor de segunda ordem definido como

$\frac{\partial f}{\partial 𝐒}:𝐓=Df(𝐒)[𝐓]={[\frac{d}{d\alpha }f(𝐒+\alpha 𝐓)]}_{\alpha =0}$

para todos os tensores de segunda ordem $𝐓$.

Propriedades: Predefinição:Ordered list

Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem tensorial

Seja $𝐅(𝐒)$ uma função com imagem tensorial de segunda ordem do tensor de segunda ordem $𝐒$. Então a derivada de $𝐅(𝐒)$ em relação à $𝐒$ na direção $𝐓$ é o tensor de quarta ordem definido como

$\frac{\partial 𝐅}{\partial 𝐒}:𝐓=D𝐅(𝐒)[𝐓]={[\frac{d}{d\alpha }𝐅(𝐒+\alpha 𝐓)]}_{\alpha =0}$

para todos os tensores de segunda ordem $𝐓$.

Propriedades: Predefinição:Ordered list

Veja também

• Derivada de Fréchet
• Derivada de Lie
• Forma diferencial
• Del em coordenadas cilíndricas e esféricas

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Strauch, I. Análise Vetorial em Dez Aulas.

Ligações externas

• Derivadas direcionais em MathWorld.
• Derivadas direcionais em PlanetMath.