Operador autoadjunto

Um operador autoadjunto, Predefinição:Pbpe é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.

• Propriedades

• Um operador $T$ é autoadjunto se e somente se

$⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩,\mathrm{\forall }x,y$

• Todo autovalor $\lambda$ de um operador autoadjunto $T$ é real:

$\lambda ⟨v,v⟩=⟨Tv,v⟩=⟨v,Tv⟩=\bar{\lambda }⟨v,v⟩$

• Se ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ são autovalores diferentes associados a autovetores $v_1$ e $v_2$. Então $⟨v_1,v_2⟩=0$:

${\lambda }_1⟨v_1,v_2⟩=⟨T{v}_1,v_2⟩=⟨v_1,T{v}_2⟩={\lambda }_2⟨v_1,v_2⟩$

$⟹({\lambda }_1-{\lambda }_2)⟨v_1,v_2⟩=0$

Como ${\lambda }_1$e ${\lambda }_2$ são distintos, temos ${\lambda }_1-{\lambda }_2\ne 0$, portanto $⟨v_1,v_2⟩=0$.

Aplicação do hermitiano na mecânica quântica

Dizer que duas funções diferentes ${\mathrm{\Psi }}_i$ e ${\mathrm{\Psi }}_j$ são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:

$\int {\mathrm{\Psi }}_i^{*}{\mathrm{\Psi }}_{j}dt=0$ para $i\ne j$

Prova da ortogonalidade de funções de onda

Sejas duas autofunções ${\mathrm{\Psi }}_n$ e ${\mathrm{\Psi }}_m$ correspondentes a dois valores diferentes de energia $E_n$ e $E_m$ respectivamente. Podemos então escrever:

$\hat{H}{\mathrm{\Psi }}_n=E_n{\mathrm{\Psi }}_n$ e $\hat{H}{\mathrm{\Psi }}_m=E_m{\mathrm{\Psi }}_m$

$\int {\mathrm{\Psi }}_m^{*}\hat{H}{\mathrm{\Psi }}_{n}dt=E_n\int {\mathrm{\Psi }}_m^{*}{\mathrm{\Psi }}_{n}dt$ e $\int {\mathrm{\Psi }}_n^{*}\hat{H}{\mathrm{\Psi }}_{m}dt=E_m\int {\mathrm{\Psi }}_n^{*}{\mathrm{\Psi }}_{m}dt$

$\int {\mathrm{\Psi }}_m^{*}\hat{H}{\mathrm{\Psi }}_{n}dt-(\int {\mathrm{\Psi }}_n^{*}\hat{H}{\mathrm{\Psi }}_{m}dt{)}^{*}=E_n\int {\mathrm{\Psi }}_m^{*}{\mathrm{\Psi }}_{n}dt-E_m\int {\mathrm{\Psi }}_n{\mathrm{\Psi }}_m^{*}dt$

Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:

$0=(E_n-E_m)\int {\mathrm{\Psi }}_m^{*}{\mathrm{\Psi }}_{n}dt$

Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.

Operador Linear

No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.

Teorema

Considere $A$ uma matriz Hermitiana de ordem $n$, $r$ um inteiro com $1\le r\le n$ e $A_r$ uma submatriz principal de ordem $r$ de $A$ (obtida removendo $n-r$ linhas e suas colunas correspondentes de $A$). Para cada inteiro $k$ tal que $1\le k\le r$, obtemos ${\lambda }_k(A)\le {\lambda }_k(A_r)\le {\lambda }_{k+n-r}(A).$

Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.