Matriz hermitiana

Em matemática, sobretudo na álgebra linear, uma matriz auto-adjunta, Predefinição:Pbpe é uma matriz quadrada complexa que é igual à sua própria transposta conjugada - ou seja, o elemento na Predefinição:Mvar-ésima linha e Predefinição:Mvar-ésima coluna é igual ao conjugado complexo do elemento na Predefinição:Mvar-ésima linha e Predefinição:Mvar-ésima coluna, para todos os índices Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar: $$A\text{ hermitiana}⟺a_{ij}=\overline{a_{ji}}$$

ou em forma de matriz: $$A\text{ hermitiana}⟺A=\overline{A^{𝖳}}.$$

Matrizes hermitianas podem ser entendidas como a extensão complexa das matrizes simétricas reais.

Se a conjugada transposta de uma matriz $A$ for indicada por $A^{𝖧},$ a propriedade hermitiana pode ser escrita de forma concisa como $$A\text{ hermitiana}⟺A=A^{𝖧}$$

As matrizes hermitianas recebem este nome em homenagem a Charles Hermite, que demonstrou em 1855 que matrizes desse tipo compartilham uma propriedade com matrizes simétricas reais de sempre ter autovalores reais. Outras notações equivalentes de uso comum são $A^{𝖧}=A^{†}=A^{\ast },$ no entanto observe que na mecânica quântica, $A^{\ast }$ tipicamente significa apenas a conjugada complexa, e não a transposta da conjugada .

Caracterizações alternativas

As matrizes hermitianas podem ser caracterizadas de várias maneiras equivalentes, algumas das quais estão listadas abaixo:

Igualdade com a adjunta

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for igual à sua adjunta, ou seja, satisfizer $$⟨w,Av⟩=⟨Aw,v⟩,$$ para qualquer par de vetores $v,w,$ em que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ denota a operação de produto interno .

Também é assim que o conceito mais geral de operador autoadjunto é definido.

Realidade de formas quadráticas

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for tal que $$⟨v,Av⟩\in ℝ,v\in V.$$

Propriedades espectrais

Uma matriz quadrada $A$ é hermitiana se, e somente se, for unitariamente diagonalizável com autovalores reais.

Aplicações

As matrizes hermitianas são fundamentais para a teoria quântica da mecânica matricial criada por Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan em 1925.

Exemplos

Nesta seção, a transposta conjugada da matriz $A$ é indicada por $A^{𝖧},$ a transposta da matriz $A$ é indicada por $A^{𝖳}$ e a conjugada da matriz $A$ é indicada por $\bar{A}.$

Considere o seguinte exemplo:

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 2+i& 4\\ 2-i& 3& i\\ 4& -i& 1\end{array}\right]$$

Os elementos diagonais devem ser reais, pois precisam coincidir com seus próprios conjugados complexos.

Entre as famílias bem conhecidas de matrizes hermitianas estão as matrizes de Pauli, as matrizes de Gell-Mann e suas generalizações. Na física teórica, tais matrizes hermitianas são frequentemente multiplicadas por coeficientes imaginários, resultando em matrizes skew-hermitianas.

Aqui, é oferecida outra matriz hermitiana útil usando um exemplo abstrato. Se uma matriz quadrada $A$ é igual ao produto de uma matriz por sua transposta conjugada, ou seja, $A=B{B}^{𝖧},$ então $A$ é uma matriz semi-definida positiva hermitiana. Além disso, se $B$ tem posto completo por linhas, então $A$ é definida positiva.

Propriedades

• As entradas na diagonal principal (do canto superior esquerdo para o inferior direito) de qualquer matriz hermitiana são reais .

  Prova: pela definição de matriz hermitiana, $$H_{ij}={\bar{H}}_{ji}$$

  Assim, para Predefinição:Math segue-se a afirmação anterior.

  Somente as principais entradas diagonais são necessariamente reais; As matrizes hermitianas podem ter entradas complexas arbitrárias em seus elementos fora da diagonal, desde que as entradas diagonalmente opostas sejam conjugadas complexas.

• Uma matriz que possui apenas entradas reais é hermitiana se e somente se é simétrica. Uma matriz real e simétrica é simplesmente um caso especial de uma matriz hermitiana.

  Prova: $H_{ij}={\bar{H}}_{ji}$ por definição. Portanto, $H_{ij}=H_{ji}$ (simetria da matriz) se e somente se $H_{ij}={\bar{H}}_{ij}$ ($H_{ij}$ é real).

• Toda matriz hermitiana é uma matriz normal. Isto significa que $A{A}^{𝖧}=A^{𝖧}A.$

  Prova: $A=A^{𝖧},$ então $A{A}^{𝖧}=AA=A^{𝖧}A.$

• O teorema espectral em dimensão finita diz que qualquer matriz hermitiana pode ser diagonalizada por uma matriz unitária e que a matriz diagonal resultante tem apenas entradas reais. Isso implica que todos os autovalores de uma matriz hermitiana Predefinição:Mvar com dimensão Predefinição:Mvar são reais e que Predefinição:Mvar possui Predefinição:Mvar autovetores linearmente independentes. Além disso, uma matriz hermitiana tem autovetores ortogonais para autovalores distintos. Mesmo que existam autovalores degenerados, sempre é possível encontrar uma base ortogonal de Predefinição:Math consistindo em Predefinição:Mvar autovetores de Predefinição:Mvar.
• A soma de quaisquer duas matrizes hermitianas é hermitiana.

  Prova: $(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\bar{A}}_{ji}+{\bar{B}}_{ji}={\overline{(A+B)}}_{ji},$ como afirmado.

• A inversa de uma matriz hermitiana invertível também é hermitiana.

  Prova: Se $A^{-1}A=I,$ então $I=I^{𝖧}=(A^{-1}A{)}^{𝖧}=A^{𝖧}(A^{-1}{)}^{𝖧}=A(A^{-1}{)}^{𝖧},$ de modo que $A^{-1}=(A^{-1}{)}^{𝖧}$ como afirmado.

• O produto de duas matrizes hermitianas Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar é hermitiano se, e somente se, Predefinição:Math.

  Prova: Observe que $(AB{)}^{𝖧}=\overline{(AB{)}^{𝖳}}=\overline{B^{𝖳}{A}^{𝖳}}=\overline{B^{𝖳}}\overline{A^{𝖳}}=B^{𝖧}{A}^{𝖧}=BA.$ portanto $(AB{)}^{𝖧}=AB$ se e somente se $AB=BA.$

  Consequentemente, Predefinição:Math é hermitiana se Predefinição:Mvar é hermitiana e Predefinição:Mvar é um número inteiro.

• Para um vetor a valores complexos arbitrário Predefinição:Mvar, o produto $v^{𝖧}Av$ é real, dado que $v^{𝖧}Av={\left(v^{𝖧}Av\right)}^{𝖧}.$ Isso é especialmente importante em física quântica, onde as matrizes hermitianas representam operadores que medem propriedades de um sistema, por exemplo, rotação total, que precisam ser reais.
• As matrizes hermitianas complexas Predefinição:Mvar por Predefinição:Mvar não formam um espaço vectorial sobre os números complexos, Predefinição:Math, uma vez que a matriz identidade Predefinição:Math é hermitiana, mas Predefinição:Math não é. No entanto as matrizes hermitianas complexas formam um espaço vetorial sobre os números reais, Predefinição:Math. No espaço vectorial de dimensão Predefinição:Math das matrizes complexas Predefinição:Math sobre Predefinição:Math, as matrizes complexas hermitianas formam um subespaço de dimensão Predefinição:Math. Se Predefinição:Math indica a matriz Predefinição:Mvar por Predefinição:Mvar com um Predefinição:Math na posição Predefinição:Math e zeros nas demais entradas, uma base (ortonormal em relação ao produto interno de Frobenius) pode ser descrita como se segue: $$E_{jj}\text{ para }1\le j\le n(n\text{ matrizes})$$

  juntamente com o conjunto de matrizes da forma $$\frac{1}{\sqrt{2}}(E_{jk}+E_{kj})\text{ para }1\le j<k\le n\left(\frac{n^2-n}{2}\text{ matrizes}\right)$$

  e as matrizes$$\frac{i}{\sqrt{2}}(E_{jk}-E_{kj})\text{ para }1\le j<k\le n\left(\frac{n^2-n}{2}\text{ matrizes}\right)$$

  em que $i$ denota o número complexo $\sqrt{-1},$ chamado de unidade imaginária .

• Se Predefinição:Mvar autovetores ortonormais $u_1,\dots ,u_n$ de uma matriz hermitiana forem escolhidos e escritos como as colunas da matriz Predefinição:Mvar, então uma decomposição em autovalores de Predefinição:Mvar será $A=U\mathrm{\Lambda }{U}^{𝖧}$ em que $U{U}^{𝖧}=I=U^{𝖧}U$ e portanto $$A=\sum _j{\lambda }_j{u}_j{u}_j^{𝖧},$$

  em que ${\lambda }_j$ são os autovalores na diagonal da matriz diagonal $\mathrm{\Lambda }.$

• O determinante de uma matriz hermitiana é real:

  Prova: $\det (A)=\det \left(A^{𝖳}\right)\Rightarrow \det \left(A^{𝖧}\right)=\overline{\det (A)}$

  Portanto, se $A=A^{𝖧}\Rightarrow \det (A)=\overline{\det (A)}.$

  (Alternativamente, o determinante é o produto dos autovalores da matriz e, como mencionado anteriormente, os autovalores de uma matriz hermitiana são reais.)

Decomposição em hermitiana e skew-hermitiana

Fatos adicionais relacionados às matrizes hermitianas incluem:

• A soma de uma matriz quadrada e sua transposta conjugada $(A+A^{𝖧})$ é hermetiana.
• A diferença de uma matriz quadrada e sua transposta conjugada $(A-A^{𝖧})$ é skew-hermitiana (também chamada de anti-hermitiana). Isso implica que o comutador de duas matrizes hermitianas é skew-hermitiano.
• Uma matriz quadrada arbitrária Predefinição:Mvar pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana Predefinição:Mvar e de uma matriz skew-hermitiana Predefinição:Mvar. Isso é conhecido como a decomposição de Toeplitz de Predefinição:Mvar Predefinição:Rp

$$C=A+B\text{com}A=\frac{1}{2}(C+C^{𝖧})\text{e}B=\frac{1}{2}(C-C^{𝖧})$$

Quociente de Rayleigh

Em matemática, para uma dada matriz complexa hermitiana M e um vetor não nulo x, o quociente de Rayleigh $R(M,x),$ é definido como: Predefinição:Rp

$$R(M,x):=\frac{x^{𝖧}Mx}{x^{𝖧}x}.$$

Para matrizes e vetores reais, a condição de ser hermitiana reduz-se à de ser simétrica, e a conjugada transposta $x^{𝖧}$ à transposição usual $x^{𝖳}.$ Observe que $R(M,cx)=R(M,x)$ para qualquer escalar real diferente de zero $c.$ Lembre-se também de que uma matriz hermitiana (ou simétrica real) tem autovalores reais.

Pode ser mostradoPredefinição:Carece de fontes que, para uma dada matriz, o quociente de Rayleigh assume o seu valor mínimo ${\lambda }_{\min }$ (o menor autovalor de M) quando $x$ é $v_{\min }$ (o autovetor correspondente). Similarmente, $R(M,x)\le {\lambda }_{\max }$ e $R(M,v_{\max })={\lambda }_{\max }.$

O quociente de Rayleigh é usado no teorema min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Também é usado em algoritmos de autovalores para obter uma aproximação de um autovalor a partir de uma aproximação de um autovetor. Especificamente, essa é a base para a iteração de quociente de Rayleigh.

A imagem do quociente de Rayleigh (para uma matriz que não é necessariamente hermitiana) é chamado de imagem numérica (ou espectro em análise funcional). Quando a matriz é hermitiana, a imagem numérica é igual à norma espectral. Ainda em análise funcional, ${\lambda }_{\max }$ é conhecido como raio espectral. No contexto de C*-álgebras ou de mecânica quântica algébrica, a função que associa Predefinição:Math ao quociente de Rayleigh Predefinição:Math para um Predefinição:Math fixo e Predefinição:Math variando pela álgebra seria chamada de "estado vetorial" da álgebra.

Ver também

• Espaço vetorial
• Matriz skew-hermitiana (matriz anti-hermitiana)
• Fórmula de aditividade de inércia de Haynsworth
• Forma hermitiana
• Operador autoadjunto
• Matriz unitária

Ligações externas

• Predefinição:SpringerEOM Predefinição:SpringerEOM
• Visualizar a matriz hermitiana como uma elipse com o Dr. Geo, de Chao-Kuei Hung da Universidade de Chaoyang, fornece uma explicação mais geométrica.
• "Hermitian Matrices" . MathPages.com .