Matriz unitária

Em matemática, uma matriz unitária é uma matriz complexa n por n U que satisfaz a condição

$U^{*}U=U{U}^{*}=I_n$

onde $I_n$ é a matriz identidade e $U^{*}$ é o transposto conjugado (também chamado operador adjunto ou adjunto Hermitiano) de U. Note-se que esta condição afirma que a matriz U é unitária se e somente se tem uma inversa a qual é igual a seu transposto conjugado $U^{*}$

$U^{-1}=U^{*}$

Uma matriz unitária na qual todos os valores são reais é a mesma coisa que uma matriz ortogonal. Assim como uma matriz ortogonal G preserva o produto interno (real) de dois vetores reais,

$⟨Gx,Gy⟩=⟨x,y⟩$

assim também uma matriz unitária U satisfaz

$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$

para todos os vetores complexos x e y, onde $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ estabelece-se agora para o produto interno padrão sobre Cⁿ. Se $U$ é uma matriz n por n então são todas equivalentes as seguintes consições:

1. $U$ é unitária
2. $U^{*}$ é unitária
3. as colunas de $U$ formam uma base ortonormal de Cⁿ com respeito ao seu produto interno
4. as linhas de $U$ formam uma base ortonormal de Cⁿ com respeito a este produto interno
5. $U$ é uma isometria com respeito à norma de seu produto interno

Decorre da propriedade de isometricidade que todos os valores próprios de uma matriz unitária são números de valor absoluto 1 (i.e., eles residem sobre o círculo unitário centrado no 0 no plano complexo). O mesmo é verdade para o determinante.

Todas as matrizes unitárias são normais, e o teorema espectral portanto aplica-se a elas. Então cada matriz unitária U tem uma decomposição da forma

$U=V\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$

onde V é unitária, e $\mathrm{\Sigma }$ é diagonal e unitária.

Para cada n, o conjunto de todas as matrizes unitárias n por n com multiplicação de matrizes formam um grupo.

Propriedades das matrizes unitárias

• $U$ é invertível
• $U^{-1}=U^{*}$
• |det($U$)| = 1
• $U^{*}$ é unitária
• Matrizes unitárias preservam o comprimento $\Vert Ux{\Vert }_2=\Vert x{\Vert }_2$
• Matrizes unitárias tem valores próprios complexos de módulo 1.

Ver também

• Matriz transposta conjugada
• Matriz hermitiana
• Matriz simplética
• Grupo unitário
• Grupo especial unitário
• Operador unitário
• Defeito de uma matriz unitária
• Decomposição de uma matriz

Ligações externas

• Predefinição:Link