Base ortonormal

Em álgebra linear, uma base $\gamma$ composta pelos vetores $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{u_3},...$ de um espaço vetorial $V$ é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários. Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja,

$\overrightarrow{u_i}\cdot \overrightarrow{u_j}=0$

$\mathrm{\forall }i\ne j$.

Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja,

$|\overrightarrow{u_i}|=1$ para $i=1,2,3,...$.

Essas duas definições podem ser condensadas assim:

$\overrightarrow{u_i}\cdot \overrightarrow{v_j}={\delta }_{ij}$, onde ${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}0& i\ne j\\ 1& i=j\end{array}$

Normalização

Para transformar uma base ortogonal $\gamma$ qualquer em ortonormal, basta fazer com que o conjunto de seus vetores tenham módulo igual a 1. Se a base é composta por $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{u_3},...$, pode-se realizar isso por meio da divisão de cada vetor pelo seu respectivo módulo, um processo nomeado normalização. Em outras palavras:

${\hat{u}}_i=\frac{{\overrightarrow{u}}_i}{|{\overrightarrow{u}}_i|}$ para $i=1,2,3,...$

em que $\hat{u}$ indica que este é um vetor unitário. A nova base $\beta$ composta por $\widehat{u_1},\widehat{u_2},\widehat{u_3},...$ será então uma base ortonormal.

Exemplo 1

Dada a base ortogonal $\alpha$ composta pelos vetores $(\sqrt{7},0,0),(0,1,0)$ e $(0,0,-13)$, determine uma base ortonormal que gere o mesmo espaço vetorial.

Ao realizar o produto interno entre pares de vetores distintos, verifica-se que a base é de fato ortogonal. Para torná-la ortonormal, deve-se dividir cada vetor pelo seu módulo:

${\hat{v}}_1=\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7}{)}^2}}(\sqrt{7},0,0)=(1,0,0)$

${\hat{v}}_2=\frac{1}{\sqrt{1^2}}(0,1,0)=(0,1,0)$

${\hat{v}}_3=\frac{1}{\sqrt{(-13{)}^2}}(0,0,-13)=(0,0,1)$

Os vetores $(1,0,0),(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ formam, então, uma base ortonormal. Essa é a base canônica em ${ℝ}^3$.

Exemplo 2

Dado o conjunto formado pelos vetores $(0,0,0,1,0,1)$ e $(-1,1,1,2,0,-2)$, encontre uma base ortonormal que gere o mesmo espaço.

Realizando o produto interno entre os dois vetores, verifica-se a ortogonalidade entre eles. Agora, é necessário torná-los unitários:

${\hat{u}}_1=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}(0,0,0,1,0,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,0,0,1,0,1)$

${\hat{u}}_2=\frac{1}{\sqrt{(-1{)}^2+1^2+1^2+2^2+(-2{)}^2}}(-1,1,1,2,0,-2)=\frac{1}{\sqrt{11}}(-1,1,1,2,0,-2)$

Logo, $\frac{1}{\sqrt{2}}(0,0,0,1,0,1)$ e $\frac{1}{\sqrt{11}}(-1,1,1,2,0,-2)$ compõem uma base ortonormal.

Ver também

• Base ortogonal
• Matriz normal
• Processo de Gram-Schmidt
• Vetor unitário

Bibliografia

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2. Alesio João de Caroli, Carlos Alberto Callioli, Miguel Oliva Feitosa, Matrizes vetores geometria analítica , NBL Editora, 1986 ISBN 8-521-30406-4
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4. Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Matemática Avançada para Engenharia - Vol II, Volume 2, Bookman, 2009 ISBN 8-577-80497-6
5. Paulo S. R. Diniz, Eduardo A. B. da Silva, Sergio L. Netto, Processamento Digital de Sinais - 2.ed.: Projeto e Análise de Sistemas , Bookman Editora, 2014 ISBN 8-582-60124-7
6. Avinash Chandra Bajpai, L. R. Mustoe, Dennis Walker, Advanced Engineering Mathematics, Hemus, 1977 ISBN 0-471-99520-7
7. HELIO MAGALHAES DE OLIVEIRA, Análise de Sinais para Engenheiros, Brasport ISBN 8-574-52283-X
8. A. Quarteroni, F. Saleri, CÁLCULO CIENTÍFICO com MATLAB e Octave, Springer Science & Business Media, 2007 ISBN 8-847-00718-6

Ligações externas

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