Base ortogonal

Em matemática, na teoria da álgebra linear, uma base ortogonal para um espaço vetorial com produto interno Predefinição:Math é uma base para Predefinição:Math cujos vetores são mutuamente ortogonais. Se os vetores de uma base ortogonal forem normalizados, a base resultante é uma base ortonormal.

Como coordenadas

Qualquer base ortogonal pode ser usada para definir um sistema de coordenadas ortogonais Predefinição:Mvar. Bases ortogonais (não necessariamente ortonormais) são importantes devido à sua ocorrência a partir de coordenadas ortogonais curvilíneas nos espaços euclidianos, bem como nas variedades riemannianas e pseudoriemanniana.

Em análise funcional

Em análise funcional, uma base ortonormal é qualquer base obtida a partir de uma base ortonormal (ou base de Hilbert) por meio da multiplicação por escalares não nulos.

Extensões

O conceito de base ortogonal (mas não ortonormal) aplica-se a um espaço vetorial Predefinição:Mvar (sobre qualquer corpo) equipado com uma forma bilinear simétrica $⟨\cdot ,\cdot ⟩,$ em que a ortogonalidade dos vetores Predefinição:Math e Predefinição:Math significa $⟨v,w⟩=0.$ Para uma base ortogonal Predefinição:Math: $$⟨{𝐞}_j,{𝐞}_k⟩=\{\begin{array}{cc}q({𝐞}_k)& j=k\\ 0& j\ne k\end{array},$$ em que Predefinição:Mvar é uma forma quadrática associada a $⟨\cdot ,\cdot ⟩:$ $q(v)=⟨\cdot ,\cdot ⟩$ (em um espaço com produto interno $q(v)=|v{|}^2$). Assim, $$⟨𝐯,𝐰⟩=\sum _{k}q({𝐞}_k)v^k{w}^k,$$ em que Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar são componentes de Predefinição:Math e Predefinição:Math em Predefinição:Math.

Ver também

• Base ortonormal
• Base (álgebra linear)
• Subespaço vetorial
• Corpo (matemática)
• Teorema da base de Hilbert
• Espaço vetorial
• Espaço de Hilbert
• Forma bilinear simétrica

Referências

• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld