Grupo especial unitário

Predefinição:Revisão Em matemática, o grupo especial unitário ou grupo unitário especial de grau n, denotado por SU(n), é o grupo das matrizes complexas, n por n, unitárias e com determinante igual a um. A operação de grupo é o produto de matrizes.

O grupo especial unitário é um subgrupo do grupo formado pelas matrizes com determinante um, e um subgrupo do grupo unitário; ambos são subgrupos do grupo linear geral GL(n,$ℂ$).

O caso mais simples, SU(1), é um grupo trivial, tendo um único elemento. O grupo SU(2) é isomorfo ao grupo dos quatérnios com valor absoluto um, que por sua vez é difeomorfo a esfera de dimensão 3. Como os quatérnios unitários podem ser utilizados para representar rotações no espaço tridimensional, temos um homomorfismo sobrejetivo da SU(2) no grupo de rotações SO(3), cujo centro é $\{+I,-I\}$.

Propriedades

O grupo especial unitário SU(n) é um grupo de Lie clássico de dimensão n²-1. Topologicamente, é compacto e simplesmente conexo. Algebricamente, é um grupo de Lie simples, o que significa que a sua Álgebra de Lie é simples. O centro do grupo SU(n) é isomorfo ao grupo cíclico ${\mathbb{Z}}_n$. O seu grupo de automorfismos exteriores, para n ≥ 3, é ${\mathbb{Z}}_2$, enquanto o grupo dos automorfismos exteriores de SU(2) é o grupo trivial.

A álgebra SU(n) algebra é gerada por n² operadores, que claramente satisfazem a relações entre comutadores (para i,j,k,l = 1, 2, ..., n)

$[{\hat{O}}_{ij},{\hat{O}}_{kl}]={\delta }_{jk}{\hat{O}}_{il}-{\delta }_{il}{\hat{O}}_{kj}$

Além disto, o operador

$\hat{N}=\sum _{i=1}^n{\hat{O}}_{ii}$

satisfaz

$[\hat{N},{\hat{O}}_{ij}]=0$

o que implica que o número de geradores independentes de SU(n) é n²-1.

Geradores

SU(2)

Para SU(2), os geradores são proporcionais às matrizes de Pauli

${\sigma }_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_3=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

SU(3)

O análogo para as matrizes de Pauli para SU(3) são as matrizes de Gell-Mann

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

Os geradores de SU(3) são definidos por T pela relação

$T_a=\frac{{\lambda }_a}{2}.$

onde as matrizes λ Gell-Mann, são o SU(3) analógas das matrizes de Pauli para SU(2):

Estas, por sua vez, seguem a seguinte relação:

• $[T_a,T_b]=i\sum _{c=1}^8{f}_{abc}{T}_c$

onde f é uma constante estrutural, e tem valor dado por

$f^{123}=1$

$f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}=\frac{1}{2}$

$f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

• $\mathrm{tr}(T_a)=0$

• Predefinição:Citar livro

Ligações externas

• Predefinição:Link