Teorema espectral

Os teoremas espectrais são fundamentais na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovectores para alguns tipos de operadores. Isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os cálculos.

Tipos

Para operadores auto-adjuntos

Seja $T:V\to V$ um operador auto-adjunto e V um espaço vetorial complexo ou real de dimensão n. Então existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T.

Para operadores normais

Seja $T:V\to V$ um operador linear e V um espaço vetorial complexo de dimensão n. Então T é normal se, e somente se, existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T. Note que, como todo operador unitário é normal, o teorema pode ser estendido a operadores desse tipo.

Para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert

Seja $H$ um espaço de Hilbert separável e $T:H\to H$ um operador compacto auto-adjunto, então existe uma família ortonormal de autovetores $\{v_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ com autovalores associados ${\lambda }_j$ tais que:

$Tx=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_j⟨x,v_j⟩v_j$

Ver também

• Medida espectral
• Decomposição em Valores Singulares