Operador compacto

Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito.

A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma teoria espectral para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema $(\lambda T+I)u=f$ se comporta como em dimensão finita.

Definição

Sejam $X$ e $Y$ espaços de Banach e $T:X\to Y$ um operador linear. $T$ é dito operador linear compacto se a imagem de conjuntos limitados em $X$ é conjunto pré-compacto em $Y$, ou seja, se:

$\overline{T(B)}$ é compacto, para todo $B$ limitado.

Equivalentemente, $T$ é compacto se para toda seqüência limitada $x_n$, existe uma subseqüência $\{x_{n_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq \{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que $T{x}_{n_k}$ é convergente.

Exemplo

Considere $X=C^1[0,1]$, o espaço das funções continuamente diferenciáveis no intervalo $[0,1]$ e $Y=C^0[0,1]$, o espaço das funções contínuas no mesmo intervalo; munidos das seguintes normas:

• $\Vert f{\Vert }_X=\underset{[0,1]}{\sup }|f(x)|+\underset{[0,1]}{\sup }|f^{\prime }(x)|$
• $\Vert f{\Vert }_Y=\underset{[0,1]}{\sup }|f(x)|$

Considere, ainda, o operador linear $T$ como sendo a inclusão de $X$ em $Y$.

Se $f_n$ é uma seqüência limitada em $X$, então $f_n$ formam uma família equicontínua e equilimitada de funções definidas em um espaço compacto. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma seqüência $\{f_{n_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},$ convergindo uniformemente para algum ponto limite. Como convergência uniforme é equivalente com convergência na norma do supremo, temos que a inclusão é um operador compacto.

Inclusão compacta

Seja $X\subseteq Y$ dois espaços de Banach, dizemos que $X$ está compactamente contido em $Y$ e escrevemos $X\subset \subset Y$ se a função inclusão $I:X\to Y$ é um operador compacto entre estes espaços.

Ver também

• Teorema de Hilbert-Schmidt

Bibliografia

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