Teoria das distribuições

Predefinição:Ver desambig Predefinição:Sem notas Predefinição:TOC-direita O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida em meados do Predefinição:Séc por Laurent Schwartz, que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields.

Motivação

A teoria das distribuições foi desenvolvida a fim de manipular determinadas singularidades que surgem na física matemática. Por exemplo, a distribuição delta de Dirac é adequada para descrever conceitos da física teórica, como uma massa puntual ou uma carga elétrica. De uma função densidade tridimensional de uma massa concentrada unitária é necessário que a mesma seja nula em todos os pontos, com exceção de um único ponto, no qual a função é infinita, tal que a integral volumétrica da função densidade seja unitária. Não existe função ordinária que satisfaça esta propriedade da função densidade. No entanto, sendo a integral interpretada como um funcional, é possível descrever a densidade como uma distribuição delta de Dirac.

Atualmente distribuições são indispensáveis em diversos ramos da matemática, física e eletrotécnica, por exemplo na teoria das equações diferenciais parciais, bem como em análise de Fourier.

Definições

Definição de distribuições

Uma distribuição é uma transformação linear contínua de uma função teste nos números complexos. Isto significa que uma distribuição é uma transformação que associa a toda função teste um número. O conjunto das distribuições com suas correspondentes relações é portanto o espaço dual topológico do espaço das funções teste.

Notação

De acordo com a definição, uma distribuição associa a toda função teste um número

$T:\varphi \to T(\varphi ):=(T,\varphi )$

Na última equação $(T,\varphi )$ é uma notação para o valor que a distribuição associa à função teste $\varphi$. Diz-se: a distribuição T é aplicada sobre $\varphi$.

Exemplos

• Seja $\mathrm{\Omega }\subseteq ℝ$ e $f\in C(\mathrm{\Omega })$, tal que para toda função teste $\varphi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ a expressão $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\varphi (x)dx$ seja uma distribuição no espaço ${𝒟}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$.
• Seja $x_0\in \mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ e $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$. Então para todo $\varphi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ a derivada parcial $(\underset{x}{\overset{\alpha }{\partial }}\varphi )(x_0)$ é também um distribuição em ${𝒟}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$.
• o valor principal de Cauchy da função $\frac{1}{x}$ pode ser interpretado como a distribuição $T$

$\mathrm{\forall }\varphi \in C_c^{\mathrm{\infty }}:T(\varphi ):=PV-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\varphi (x)}{x}dx$.

Funções teste

Dentre os diversos espaços de funções teste serão descritos aqui três deles.

Seja

$C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })=\{\varphi \in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },ℂ)|\mathrm{supp}\varphi \mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{\Omega }\}$

o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto, ou seja, que fora de um domínio compacto são nulas.

Funções teste para distribuições gerais

Para o primeiro espaço de funções teste, denotado por $𝒟(\mathrm{\Omega })$, é necessário um critério de convergência. Uma seqüência $({\varphi }_j{)}_{j\in \mathbb{N}}$ com ${\varphi }_j\in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ converge ao valor $\varphi$, quando existe um conjunto compacto $K\subset \mathrm{\Omega }$ com $\mathrm{supp}({\varphi }_j)\subset K$ para todo $j$ e

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in K}{\sup }\left|\frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}({\varphi }_j(x)-\varphi (x))\right|=0$

para todo multi-índice $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$. O espaço $C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ juntamente com este critério de convergência fornece um espaço convexo local, denotado por $𝒟(\mathrm{\Omega })$.

Funções teste para distribuições com suporte compacto

Um outro espaço de funções teste é o espaço das funções suaves $C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$. Este espaço, juntamente com a seguinte família de semi-normas e a topologia induzida é denotado por $ℰ(\mathrm{\Omega })$. A família de semi-normas é expressa por

$\varphi \mapsto \sum _{|\alpha |\le m}\underset{x\in K}{\sup }|\frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}\varphi (x)|.$

Esta norma induz uma topologia convexa local

Bibliografia

• Israel Gelfand: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). Bände I - III (1958 mit G.E. Schilow), IV (1960 mit N.J. Wilenkin), V (1962 mit M.I. Graev und N.J. Wilenkin), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
• Michael James Lighthill: An introduction to Fourier analysis and generalised functions, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
• Joseph Wloka: Grundräume und Verallgemeinerte Funktionen, Lecture Notes in Mathematics 82, Springer-Verlag 1968, ISBN 3-540-04250-4.
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