Espaços normados

Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional ${ℝ}^3$.

Espaços normados são exemplos de espaços métricos e espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Essas estruturas encontram aplicações em diversas áreas da matemática e física, com alguns exemplos sendo equações diferenciais, teoria da medida e integração numérica.

O conceito foi proposto por Stefan Banach, Hans Hahn e Norbert Wiener, de maneira independente, em 1922.

Definição

Seja $X$ um espaço vetorial real ou complexo. Uma função $\Vert \cdot \Vert :X\to ℝ$ é uma norma se ela satisfaz as propriedades a seguir.

1. $\Vert x\Vert \ge 0$ para todo $x\in X$ e $\Vert x\Vert =0\iff x=0$ (Positividade e não degenerescência);
2. $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$ para todos $\alpha$ escalares e $x\in X$ (Homogeneidade);
3. $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ para todos $x,y\in X$ (Desigualdade triangular).

Nesse caso, $X$ é dito ser um espaço normado. Pelas propriedades acima, é possível ver que

$d(x,y):=\Vert x-y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y\in X$

define uma métrica em $X$, fazendo de todo espaço normado, em particular, um espaço métrico. Espaços normados que são completos, na métrica induzida pela norma, são chamados de espaços de Banach.

As operações de soma $+$ e produto por escalar $\cdot$ são contínuas em qualquer espaço normado. Logo, espaços normados são casos particulares de espaços vetoriais topológicos.

Exemplos de Espaços Normados

1) O espaço vetorial ${ℝ}^n$ munido da norma euclidiana

$\Vert x\Vert :={(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^2)}^{1/2}$,

onde $x=(x_1,...,x_n)\in {ℝ}^n$.

2) O espaço vetorial ${ℝ}^n$ munido da norma-$p$

$\Vert x{\Vert }_p:={(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}$,

onde $x=(x_1,...,x_n)\in {ℝ}^n$ e $p\in [1,\mathrm{\infty }).$

3) O espaço vetorial ${\ell }_p:=\{x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {ℝ}^{\mathbb{N}};\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }\}$ das sequências $p-$somáveis, munido da norma

$\Vert x{\Vert }_p:={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{1/p}$.

Métricas induzidas

Se um espaço vetorial $X$ é normado, a função $d:X\times X\to ℝ$ definida por

$d(x,y):=\Vert x-y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y\in X$

é uma métrica em $X$, chamado de métrica induzida pela norma. Reciprocamente, se $X$ é um espaço vetorial e um espaço métrico, cuja métrica satisfaz

$d(x+z,y+z)=d(x,y)$ e

$d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)$

para todos $x,y,z\in X$ e $\alpha$ escalar, então existe uma norma $\Vert \cdot \Vert$ em $X$ que induz a métrica $d$. A dizer,

$\Vert x\Vert =d(x,0),\mathrm{\forall }x\in X$.

Operadores lineares limitados

Sejam $X,Y$ espaços normados e $T:X\to Y$ um operador linear. Dizemos que $T$ é limitado se existe $c>0$

$\Vert Tx\Vert \le c\Vert x\Vert ,\mathrm{\forall }x\in X$.

Nesse caso, definimos a norma de operador de $T$ por

$\Vert T\Vert :=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Tx\Vert$.

O conjunto dos operadores limitados $X\to Y$, geralmente denotado $ℬ(X,Y)$, é um subespaço do conjunto dos operadores lineares $ℒ(X,Y)$ e a norma de operador é de fato uma norma em $ℬ(X,Y)$. Caso $Y$ seja um espaço de Banach, $ℬ(X,Y)$ também é um espaço de Banach. Em particular, o dual topológico $X^{*}:=ℬ(X,𝕂)$ de qualquer espaço normado $X$é completo.

As seguintes afirmações a respeito do operador linear $T:X\to Y$ são equivalentes:

• $T$ é limitado;
• $T$ é contínuo;
• $T$ é contínuo em um ponto $x_0\in X$;
• $T$ é uniformemente contínuo;
• $T$ é Lipschitziano;
• $\Vert T\Vert <\mathrm{\infty }$;
• $T$ leva conjuntos limitados (em $X$) em conjuntos limitados (em $Y$).

Importante frisar que a definição de limitação como acima é diferente da vista em cursos de cálculo e na teoria de espaços métricos, onde uma função limitada é aquela cuja imagem é um subconjunto limitado do contradomínio.

Se um operador linear $T:X\to Y$ é bijetor e tal que

$\Vert Tx\Vert =\Vert x\Vert ,\mathrm{\forall }x\in X$,

$T$ é dito ser um isomorfismo entre espaços normados, uma vez que ele preserva tanto a estrutura de espaço vetorial quanto a norma. Nesse caso, $X$ e $Y$ são isomorfos.

Exemplos

1) Dado $X$ espaço normado, a identidade $i{d}_x:X\to X$ é um operador linear limitado.

2) Dado o espaço ${\ell }_p$, considere as funções $S_r:{\ell }_p\to {\ell }_p$ e $S_l:{\ell }_p\to {\ell }_p$ dadas por

$S_r(x):=(0,x_1,x_2,...,x_n,...)$ e $S_l(x):=(x_2,x_3,...,x_n,...)$,

onde $x:=(x_1,x_2,...,x_n,...)\in {\ell }_p.$ Tais funções são exemplos de transformações lineares limitadas.

3) O operador diferencial $\frac{d}{dx}:C^1[a,b]\to C^0[a,b]$, dado por

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}(f):[a,b]& \to ℝ\\ x& \mapsto \frac{df}{dx}(x)\end{array}$

constitui um exemplo de um operador linear que não é limitado.

Normas equivalentes

Sejam $X$ um espaço vetorial e $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ duas normas nele. Caso $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ induzam a mesma topologia, as duas normas são chamadas de equivalentes.

Duas normas $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ são equivalentes se, e somente se, existem $A,B>0$ tais que

$A\Vert x{\Vert }_1\le \Vert x{\Vert }_2\le B\Vert x{\Vert }_1,\mathrm{\forall }x\in X$.

Além disso, as sequências de Cauchy em $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ e $(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ são as mesmas. Note que as desigualdades acima mostram que duas normas são equivalentes se, e só se, a identidade

$\begin{array}{cc}\mathrm{i}\mathrm{d}:(X,\Vert \cdot {\Vert }_1)& \to (X,\Vert \cdot {\Vert }_2)\\ x& \mapsto x\end{array}$

é um isomorfismo entre espaços normados.

Num espaço de dimensão finita, quaisquer duas normas são equivalentes.

Exemplos de Normas Equivalentes

1) Dados $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$, tem-se que as normas $\Vert x{\Vert }_p$ e $\Vert x{\Vert }_q$, quando definidas em ${ℝ}^n$, são equivalentes. Aqui,

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{1\le k\le n}{\sup }|x_k|$, onde $x=(x_1,...,x_n)\in {ℝ}^n$.

2) Mais geralmente, é válido que quaisquer normas em ${ℝ}^n$, por se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita.

Norma canônica de um espaço vetorial

Enquanto é trivial definir uma norma num espaço vetorial de dimensão finita (todo espaço de dimensão finita é isomorfo a ${ℝ}^n$ ou ${ℂ}^n$), a construção de uma norma para o caso de um espaço vetorial de dimensão infinita não é trivial. Entretanto, sempre é possível a definição de uma norma em qualquer espaço vetorial.

Uma das consequências do lema de Zorn é que todo espaço vetorial $V$ sobre $𝕂=ℝ,ℂ$ possui uma base (de Hamel) $\{e_i{\}}_{i\in I}$. Por definição, isso significa que todo vetor $v\in V$ pode ser decomposto unicamente por

$v=\sum _{j\in J}{\alpha }_j{e}_j$,

onde $J\subseteq I$ é finito e ${\alpha }_j\in 𝕂,\mathrm{\forall }j\in J$. Define-se então

$\begin{array}{cc}\Vert \cdot \Vert :V& \to ℝ\\ v& \mapsto \Vert v\Vert :=\underset{j\in J}{\max }|{\alpha }_j|.\end{array}$

Tal função é de fato uma norma em $V$, chamada de norma canônica.Predefinição:Referências