Forma quadrática definida

Em matemática, uma forma quadrática definida é uma forma quadrática sobre algum espaço vetorial real V que possui o mesmo sinal (sempre positivo ou sempre negativo) para cada vetor não nulo de V. De acordo com esse sinal, a forma quadrática é chamada positiva-definida ou negativa-definida.

A forma quadrática semi-definida é definida da mesma forma, exceto que "positivo" e "negativo" são substituídos por "não negativo" e "não positivo", respectivamente. Uma forma quadrática indefinida é aquele que tem tanto valores positivos como negativos.

Em termos mais gerais, a definição aplica-se a um espaço vetorial sobre um corpo ordenado.

Forma bilinear simétrica associada

Formas quadráticas correspondem uma-a-uma a formas bilineares simétricas sobre o mesmo espaço. Uma forma bilinear simétrica é também descrita como definida, semidefinida, etc, segundo sua forma quadrática associada. Uma forma quadrática Predefinição:Math e sua forma bilinear simétrica associada Predefinição:Math são relacionadas pelas seguintes equações:

$Q(x)=B(x,x)$

$B(x,y)=B(y,x)=\frac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))$

Exemplo

Como exemplo, façamos $V={ℝ}^2$, e consideremos a forma quadrática

$Q(x)=c_1{x_1}^2+c_2{x_2}^2$

onde Predefinição:Math , Predefinição:Math e Predefinição:Math são constantes. Se Predefinição:Math e Predefinição:Math, a forma quadrática Predefinição:Math é positivo definida. Se uma das constantes é positiva e a outra é zero, então Predefinição:Math é positivo semidefinida. Se Predefinição:Math e Predefinição:Math, então Predefinição:Math é indefinida.

Notas

• Predefinição:Citar livro
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