Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos. Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos $\hat{A},\hat{B}$ e $\hat{C},$ com medidas respectivamente $a,b$ e $c,$ valem as relações:

$a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot cos\hat{A}$

$b^2=a^2+c^2-2a\cdot c\cdot cos\hat{B}$

$c^2=a^2+b^2-2a\cdot b\cdot cos\hat{C}$

Demonstração

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma Geométrica

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:

$ABC,BCD,BAD$.

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

$b=n+m$

e

$m=c\cdot cos\hat{A}$.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:

$a^2=n^2+h^2$

e para BAD:

$c^2=m^2+h^2$

Substituindo:

$n=b-m$

e

$h^2=c^2-m^2$

em

$a^2=n^2+h^2$

teremos:

$a^2=(b-m{)}^2+c^2-m^2$

$a^2=b^2-2b\cdot m+m^2+c^2-m^2$

$a^2=b^2+c^2-2b\cdot m$

Entretanto, pode-se substituir a relação $m=c\cdot cos\hat{A}$, do triângulo $BAD$, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

$a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot cos\hat{A}$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

$b^2=a^2+c^2-2a\cdot c\cdot cos\hat{B}$

$c^2=a^2+b^2-2a\cdot b\cdot cos\hat{C}$

Forma Vetorial

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor $\overrightarrow{a}$ como sendo igual a $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ temos um triângulo formado pela soma $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$ e o resultante $\overrightarrow{b}$. Sabendo que $u^2=\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2$ e $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{v}\Vert \cdot cos(\theta )$ sendo $\theta$ o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$

${\overrightarrow{a}}^2=\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2=\Vert (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}){\Vert }^2$

$\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2=(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$

$\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$

A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:

$\begin{array}{cc}\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2& =\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2-2\Vert \overrightarrow{b}\Vert \Vert \overrightarrow{c}\Vert \cos \theta \\ \Vert \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}{\Vert }^2& =\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2-2\Vert \overrightarrow{b}\Vert \Vert \overrightarrow{c}\Vert \cos \theta \\ 2\Vert \overrightarrow{b}\Vert \Vert \overrightarrow{c}\Vert \cos \theta & =\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}{\Vert }^2\\ \Vert \overrightarrow{b}\Vert \Vert \overrightarrow{c}\Vert \cos \theta & =\frac{\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2-(\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2)}{2}\\ \Vert \overrightarrow{b}\Vert \Vert \overrightarrow{c}\Vert \cos \theta & =\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\\ \end{array}$

Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.

Já que $\theta$ é o ângulo formado entre os vetores $\overrightarrow{b}$ e $\overrightarrow{c}$ e considerando que o ponto da origem de $\overrightarrow{b}$ é o mesmo da origem de $\overrightarrow{c}$, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor $\overrightarrow{a}$, logo formando um ângulo $\hat{A}$.

Forma Matricial

Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

$\cos \alpha =\frac{m}{b}\to m=b\cos \alpha$

$\cos \beta =\frac{n}{a}\to n=a\cos \beta$

Somando as duas equações, como $m+n=c$, obtêm-se a relação: $c=b\cos \alpha +a\cos \beta$ . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

$a=b\cos \gamma +c\cos \beta$

$b=a\cos \gamma +c\cos \alpha$

$c=b\cos \alpha +a\cos \beta$

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M): $M=\left[\begin{array}{ccc}0& c& b\\ c& 0& a\\ b& a& 0\end{array}\right]$

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel $\cos \alpha$ (X): $X=\left[\begin{array}{ccc}a& c& b\\ b& 0& a\\ c& a& 0\end{array}\right]$

Assim, é válida a igualdade $\cos \alpha =\frac{det[X]}{det[M]}$ e, portanto:

$\cos \alpha$ = $\frac{a(-a^2+b^2+c^2)}{2abc}\to a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

e, analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Ver também

• Lei dos senos

Ligações externas

• Predefinição:Link