Lei dos senos

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Predefinição:Trigonometria

Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo ABCqualquer, inscrito em uma circunferência de raio r, de lados BC‾, AC‾ e AB‾, que medem respectivamente a, b e c, com ângulos internos A^, B^ e C^ vale a seguinte relação:

asin⁡A^=bsin⁡B^=csin⁡C^=2r

Demonstração

Teste
Teste

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.

Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que A^=D^, porque determinam na circunferência uma mesma corda BC‾. Desta forma, podemos relacionar:

sin⁡D^=a2r
⇒a=2r⋅sin⁡A^
⇒asin⁡A^=2r

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos B^ e C^ teremos as relações:

bsin⁡B^ e csin⁡C^=2r


em que b é a medida do lado AC, oposto a B^, c é a medida do lado AB, oposto a C^, e 2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

asin⁡A^=bsin⁡B^=csin⁡C^=2r


Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma b→+c→ e o resultante a→ e os ângulos C^,B^ e A^ correspondendo respectivamente aos vetores a→ e b→, a→ e c→, b→ e c→. Sabendo que o dobro da área, representada por S, do triângulo formado entre os vetores u→ e v→ é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:


‖u→×v→‖=‖u→‖⋅‖v→‖⋅sin⁡(θ)


Sendo θ o ângulo entre os vetores u→ e v→, dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:


‖a→×b→‖=‖a→×c→‖=‖b→×c→‖=2S
‖a→‖⋅‖b→‖⋅sin⁡C^=‖a→‖⋅‖c→‖⋅sin⁡B^=‖b→‖⋅‖c→‖⋅sin⁡A^=2S
‖a→‖⋅‖b→‖⋅sin⁡C^‖a→‖⋅‖b→‖⋅‖c→‖=‖a→‖⋅‖c→‖⋅sin⁡B^‖a→‖⋅‖b→‖⋅‖c→‖=‖b→‖⋅‖c→‖⋅sin⁡A^‖a→‖⋅‖b→‖⋅‖c→‖=2S‖a→‖⋅‖b→‖⋅‖c→‖
sin⁡C^‖c→‖=sin⁡B^‖b→‖=sin⁡A^‖a→‖=12r

Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:

asin⁡A^=bsin⁡B^=csin⁡C^=2r


Pois é uma relação possível de se inverter.

Trigonometria esférica

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Lei dos senos para um triângulo esférico

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

sen⁡asen⁡A=sen⁡bsen⁡B=sen⁡csen⁡C

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, xsinx→1.

Ver também

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