Triângulo esférico

Um triângulo esférico

Um triângulo esférico é a união de três segmentos geodésicos de uma esfera. As suas propriedades são diferentes das dos triângulos planos e o seu conhecimento é essencial em navegação astronômica, mecânica de precisão e óptica. A parte da matemática que estuda as relações entre seus elementos é a trigonometria esférica.

Propriedades

Seja [ABC] um triângulo esférico e a, b e c as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B e C.

Ângulos

A soma dos ângulos de um triângulo esférico é sempre maior que 180º e menor do que 540º, isto é, $180^{\circ }<A+B+C<540^{\circ }$. Mais precisamente

$A+B+C=\pi +\frac{{\text{Area}}_{[ABC]}}{R^2}$ (em radianos)

Assim, a soma dos ângulos é tanto mais próxima de 180º quanto menor for a razão entre a área do triângulo e a área da esfera. Deste modo, um triângulo pequeno desenhado na superfície terrestre aparenta ser plano (uma das razões pela qual durante muito tempo se julgou que a Terra era plana).

Teorema de Pitágoras

Se C = 90º, tem-se

$\cos (c)=\cos (a)\cos (b)$

Lei dos senos

$\frac{\text{sen}(a)}{\text{sen}(A)}=\frac{\text{sen}(b)}{\text{sen}(B)}=\frac{\text{sen}(c)}{\text{sen}(C)}$

Lei dos cossenos

$\cos (c)=\cos (a)\cos (b)+\text{sen}(a)\text{sen}(b)\cos (C)$

ou a versão dual

$\cos (C)=-\cos (A)\cos (B)+\text{sen}(A)\text{sen}(B)\cos (c)$