Regra do quociente

Predefinição:Sem fontes Predefinição:Cálculo Em matemática, a regra do quociente (ver derivada), rege a diferenciação de quocientes de funções diferenciáveis.

Pode ser apresentada como:

$$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

ou, segundo a notação de Leibniz:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}.$$

Demonstração:

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}(I)$$

Então $u(x)=f(x)\cdot v(x)$

Pela regra do produto:

$$u^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v^{\prime }(x)(II)$$

Utilizando (I) e (II), temos:

$$u^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot v(x)+\frac{u(x)}{v(x)}\cdot v^{\prime }(x)$$

$$u^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{v(x)}$$

$$u^{\prime }(x)\cdot v(x)=f^{\prime }(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$$

$$u^{\prime }(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot v(x)\cdot v(x)$$

$$\frac{u^{\prime }(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}=f^{\prime }(x)$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}$$