Derivada total

Em matemática, a derivada total de uma função $f$é a melhor aproximação linear do valor da função em relação aos seus argumentos. Ao contrário das derivadas parciais, a derivada total aproxima a função em relação a todos os seus argumentos, e não apenas a um. Em muitas situações, isso é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. O termo "derivado total" é usado principalmente quando $f$ é uma função de várias variáveis, porque quando $f$ é uma função de uma única variável, a derivada total é a mesma que a derivada da função. Predefinição:Rp

A "derivada total" é algumas vezes também usada como sinônimo da derivada de material na mecânica de fluidos .

A derivada total como um mapa linear

Seja $U\subseteq {𝐑}^{𝐧}$um subconjunto aberto . Então uma função $f:U\to {𝐑}^m$é dito ser (totalmente) diferenciável em um ponto $a\in U$se existe uma transformação linear $d{f}_a:{𝐑}^n\to {𝐑}^m$tal que$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\Vert f(x)-f(a)-d{f}_a(x-a)\Vert }{\Vert x-a\Vert }=0.$$O mapeamento linear $d{f}_a$é chamado de diferencial (total) ou derivada (total) de $f$ em $a$$f$. Outras notações para a derivada total incluem $D_{a}f$ e $Df\left(a\right)$. Uma função é (totalmente) diferenciável se sua derivada total existir em todos os pontos de seu domínio.

Conceitualmente, a definição da derivada total expressa a ideia de que $d{f}_a$é a melhor aproximação linear para $f$no ponto $a$. Isso pode ser feito com precisão quantificando o erro na aproximação linear determinada por $d{f}_a$. Para fazer isso, escreva$f(a+h)=f(a)+d{f}_a(h)+\epsilon (h),$

onde $\epsilon \left(h\right)$é igual ao erro na aproximação. Dizer que a derivada de $f$em $a$ é $d{f}_a$é equivalente à enunciar que

$\epsilon \left(h\right)=o(\Vert h\Vert ),$

onde $o$ é notação do pequeno o e indica que $\epsilon \left(h\right)$ é muito menor do que $\Vert h\Vert$quando $h\to 0$. A derivada total $d{f}_a$é a única transformação linear para a qual o termo de erro é tão pequeno, e este é o sentido em que é a melhor aproximação linear para $f$.

A função $f$ é diferenciável se e somente se cada um de seus componentes $f_i:U\to 𝐑$é diferenciável, por isso, quando se estudam derivadas totais, muitas vezes é possível trabalhar uma coordenada de cada vez no co-domínio. No entanto, o mesmo não é verdade das coordenadas no domínio. É verdade que se $f$ é diferenciável em $a$, então cada derivada parcial $\partial f/\partial x_i$existe em $a$. O inverso é falso: pode acontecer que todas as derivadas parciais de $f$em $a$ existam, mas $f$ não seja diferenciável em $a$. Isso significa que a função é muito ''grosseira" em $a$, a tal extremo que seu comportamento não pode ser adequadamente descrito por seu comportamento nas direções das coordenadas. Quando $f$ não é tão grosseira, isso não pode acontecer. Mais precisamente, se todas as derivadas parciais de $f$ em $a$ existem e são contínuos em uma vizinhança de $a$, então $f$é diferenciável em $a$. Quando isso acontece, então, além disso, a derivada total de $f$ é a transformação linear correspondente à matriz jacobiana de derivadas parciais naquele ponto.

Referências

• A. D. Polyanin e V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. Predefinição:ISBN ISBN   1-58488-297-2
• From thesaurus.maths.org derivado total do

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld
• http://www.sv.rkriz.net/classes/ESM4714/methods/df2D.html