Tabela de derivadas

Predefinição:Cálculo A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, supomos que $f$ e $g$ são funções deriváveis em $ℝ$ e $c$ é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar. Demonstrações destas fórmulas podem ser obtidas em livros de cálculo diferencial e integral.

Regras gerais de derivação

Regra da soma

• $\left(f+g\right)=f^{\prime }+g^{\prime }$

Regra da subtração

• $(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }$

Regra da multiplicação

• $(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$

Regra do produto

• $\left(fg\right)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

Regra do quociente

• $\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ sendo esta válida para todo $x$ no domínio das funções com $g(x)\ne 0$.

Regra da Cadeia

• $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

onde $(f\circ g)(x):=f(g(x))$ é a composição de $f$ com $g$ (usualmente, lê-se "$f$ após $g$"). Esta é válida para $x$ no domínio $D_g$ da função $g$ e tal que $g(x)$ esteja no domínio $D_f$ da função $f$, ou seja, é válida em $D_{f\circ g}=\{x\in D_g:g(x)\in D_f\}$.

Derivadas de funções simples

• $\frac{d}{dx}c=0$

• $\frac{d}{dx}x=1$

• $\frac{d}{dx}c.x=c$

• $\frac{d}{dx}{x}^c=c{x}^{c-1}$

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

• $\frac{d}{dx}{c}^x=c^x\ln c,c>0$

• $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$
• $\frac{d}{dx}{\log }_b|x|=\frac{1}{x\ln b}$
• $\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}$

Se $u$ é uma função derivável, então:

• $\frac{d}{dx}{e}^u=u^{\prime }{e}^u$

• $\frac{d}{dx}{a}^u=u^{\prime }{a}^u\ln a$

• $\frac{d}{dx}{\log }_{a}u=\frac{u^{\prime }}{u}{\log }_{a}e$

• $\frac{d}{dx}\ln |u|=\frac{u^{\prime }}{u}$

Derivadas de funções trigonométricas

Função	Abreviatura	Identidade trigonométrica
Seno	sen (ou sin)	$\mathrm{sen}\theta \equiv \cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\csc \theta }$
Cosseno	cos	$\cos \theta \equiv \mathrm{sen}(\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\sec \theta }$
Tangente	tan (ou tg)	$\tan \theta \equiv \frac{\mathrm{sen}\theta }{\cos \theta }\equiv \cot (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\cot \theta }$
Cossecante	csc (ou cosec)	$\csc \theta \equiv \sec (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\mathrm{sen}\theta }$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \csc (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\cos \theta }$
Cotangente	cot (ou cotg ou cotan)	$\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta }{\mathrm{sen}\theta }\equiv \tan (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\tan \theta }$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{sen}x=\cos x$

• $\frac{d}{dx}\cos x=-\mathrm{sen}x$

• $\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x$

• $\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$

• $\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$

• $\frac{d}{dx}\cot x=-{\csc }^{2}x$

Derivadas de funções trigonométricas inversas

• $\frac{d}{dx}\mathrm{arcsen}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Derivadas de funções hiperbólicas

• $\frac{d}{dx}\mathrm{senh}x=\cosh x$

• $\frac{d}{dx}\cosh x=\mathrm{senh}x$

• $\frac{d}{dx}\tanh x={\mathrm{sech}}^{2}x$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{sech}x=-\mathrm{sech}x\tanh x$

• $\frac{d}{dx}\coth x=-{\mathrm{csch}}^{2}x$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{csch}x=-\mathrm{csch}x\coth x$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{argsenh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{argcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{argtanh}x=\frac{1}{1-x^2}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{argsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{argcoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{argcsch}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2+1}}$

Ver também

• Tabela de integrais