Identidade aditiva

Em matemática, a identidade aditiva de um conjunto que está equipado com a operação de adição é um elemento que quando adicionado a qualquer elemento $x$ do conjunto, resulta em $x.$  Uma das mais conhecidas identidades aditivas é o número 0, mas identidades aditivas ocorrem em outras estruturas matemáticas onde a adição é definida, como em grupos e anéis.

Exemplos elementares

• A identidade aditiva familiar da matemática elementar é o zero, denotado por 0. Por exemplo, $$5+0=5=0+5$$
• Nos números naturais $\mathbb{N}$ e em todos os seus superconjuntos (os números inteiros $\mathbb{Z},$ os números racionais $\mathbb{Q},$  os números reais $ℝ$ e os números complexos $ℂ$), a identidade aditiva é 0. Assim, para qualquer número $n$ pertencente a um desses conjuntos vale: $$n+0=n=0+n$$

Definição formal

Seja $\mathbb{N}$ um conjunto fechado sob a operação de adição, denotada $+$. Um aditivo de identidade para $\mathbb{N}$ é qualquer elemento $e$ tal que, para qualquer elemento $n$ em $\mathbb{N},$ $$e+n=n=n+e$$

Exemplos

• Em um grupo a identidade aditiva é o elemento identidade do grupo, que é usualmente denotado como $\mathrm{𝟘}$ e é único.
• Um anel ou corpo é um grupo sob a operação de adição e portanto também têm uma identidade aditiva única $\mathrm{𝟘}.$ Este é definido como sendo diferente da identidade multiplicativa $\mathrm{𝟙}$ se o anel (ou corpo) tem mais de um elemento. Se as identidades aditiva e multiplicativa são idênticas, então o anel é trivial.
• Em um sistema $S$com operação de multiplicação que distribui sobre a adição, a identidade aditiva é um elemento absorvente multiplicativo, significando que para qualquer $s$ em $S,$ $s\cdot \mathrm{𝟘}=0.$

Ver também

• 0 (número)
• Elemento de identidade
• Multiplicativo de identidade