Mostrar código-fonte de Análise complexa

{{Mais notas|data=janeiro de 2020}}
{{Análise complexa}}
A '''análise complexa''', também conhecida como a '''teoria das funções de variável complexa''', é o ramo da [[matemática]] que investiga as [[Função (matemática)|funções]] de [[números complexos]]. Ela é útil em muitas áreas da matemática, incluindo [[geometria algébrica]], [[teoria dos números]], [[análise combinatória]] e [[matemática aplicada]]; além disso, ela é amplamente utilizada em vários ramos da [[física]], como [[hidrodinâmica]], [[termodinâmica]] e, em particular, [[mecânica quântica]]. Por consequência, o escopo teórico da análise complexa também possui aplicações nas várias divisões da engenharia, como nas engenharias [[Engenharia nuclear|nuclear]], [[Engenharia aeroespacial|aeroespacial]], [[Engenharia mecânica|mecânica]] e [[Engenharia elétrica|elétrica]].

Já que uma [[função diferenciável]] de variável complexa é igual à soma de sua [[série de Taylor]] {{mdash}} isto é, também é uma [[função analítica]] {{mdash}} a análise complexa tem interesse particular nas funções analíticas de variável complexa, denominadas [[funções holomorfas]].

== Funções complexas ==
A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão do [[cálculo diferencial e integral]] para o [[Domínio (matemática)|domínio]] dos [[números complexos]].<ref name=ahlfors-21>{{Harvnb|Ahlfors|1979|p=21}}</ref> Seja A um conjunto de [[números complexos]]. Se <math>z</math> denota qualquer um dos números do conjunto A, então <math>z</math> é denominado uma [[variável complexa]]. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa <math>z</math> para com uma outra variável complexa <math>w</math> para cada valor possível de <math>z</math> (elementos do conjunto A), então <math>w</math> é uma [[função (matemática)|função]] da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como <math>w = f(z).</math> O conjunto A é usualmente algum [[domínio]], chamado [[domínio de definição]] da função <math>w.</math> 

Como todo número complexo pode ser escrito na forma <math>z = a+bi,</math> em que <math>a = R(z), b = Im(z)</math> indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a [[função complexa]] <math>w = f(z)</math> na forma <math>f(z) = u(x,y) + i v(x,y).</math> Como nas [[funções reais]], existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

<math>P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n,</math> em que z é uma variável complexa, é uma [[função polinomial]] em variável complexa.

=== Limites de funções complexas ===
{{Artigo principal|Limite de uma função}}
Seja {{math|''f'' (''z'')}} uma função complexa definida nas vizinhanças do ponto {{math|''z''<sub>0</sub>}}, sendo possivelmente não definida no próprio ponto {{math|''z''<sub>0</sub>}}. De forma análoga ao [[análise real|caso real]], define-se o [[Limite de uma função|limite]] {{math|''L''}} dessa função quando a variável {{math|''z''}} tende ao ponto {{math|''z''<sub>0</sub>}} como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conforme {{math|''z''}} fica arbitrariamente próximo de {{math|''z''<sub>0</sub>}}. Em [[Linguagem formal|linguagem matemática formal]], diz-se que

:<math> \lim_{z \to z_0}f(z) = L</math>,

se, para cada número {{math|''&epsilon;'' > 0}} existe um outro número {{math|''&delta;'' > 0}} com a propriedade de que a desigualdade {{math|{{!}} ''f'' (''z'') - L {{!}} < ''&epsilon;''}} é válida para todos os valores de {{math|''z''}} tais que {{math|{{!}} ''z'' - ''z''<sub>0</sub> {{!}} < ''&delta;''}} e {{math|''z'' ≠ ''z''<sub>0</sub>}}.<ref name=ahlfors-22>{{Harvnb|Ahlfors|1979|p=22}}</ref> Nessa definição, as barras {{math|{{!}}{{!}}}} representam o [[Norma (matemática)|módulo]] de um número complexo, definido como {{math|{{!}}''z''{{!}} {{=}} {{sqrt|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}}} para {{math|''z'' {{=}} ''x'' + ''yi''}}, em que {{math|''x''}} e {{math|''y''}} são as partes real e complexa de {{math|''z''}}, respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite é <math>f(z) \to L</math> para <math>z \to z_0</math>.<ref name=ahlfors-22/>

Algumas propriedades típicas dos [[limite]]s de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo:
1) o limite da soma é igual a soma dos limites;
2) o limite do produto é igual ao produto dos limites;
3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0);
...

As condições de [[continuidade]] para as funções complexas são as mesmas de uma [[função real]].

=== Derivada de uma função complexa ===
{{Artigo principal|Derivada}}
Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite <math>\lim_{\Delta z \to 0} \frac {f(z_0 + \Delta z)- f(z_0)}{\Delta z} = f'(z_0) = \frac {d f}{d z}(z_0),</math> denominado "[[derivada]]" da função <math>f</math> em relação a <math>z</math> no ponto <math>z_0.</math> Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser [[contínua]] em um ponto para que seja [[diferenciável]] neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

== Condições de Cauchy-Riemann ==
{{Artigo principal|Equações de Cauchy-Riemann}}
Suponha que a função f seja [[derivável]] em <math>z_0,</math> em que <math>z_0 = x_0 + i y_0:</math> 

<math display="block">f(z) = u(x,y) + i v(x,y)</math>

<math display="block">f'(z) = a + i b</math>

<math display="block">\Delta f = f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)</math>

<math display="block">\Delta u = u(x_0 + \Delta x, y_o + \Delta y) - u(x_0,y_0)</math>

e <math>\Delta v,</math> para a mudança correspondente em v(x,y). Então <math>\lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta f}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y} = a+ i b </math>

e também:

<math display="block">\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \text{Re}\left(\frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y}\right) = a</math>

<math display="block">\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \text{Im} \left(\frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y}\right) = b</math>

Em particular, quando <math>\Delta y = 0,</math> em que <math>\Delta z = \Delta x,</math> esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

<math display="block">\lim_{\Delta x \to 0} \frac {u(x_0 + \Delta x, y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} = a </math>

<math display="block">\lim_{\Delta x \to 0} \frac {v(x_0 + \Delta x, y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x} = b </math>

ou seja, as [[derivadas parciais]] <math>\frac {\partial u}{\partial x}</math> e <math>\frac {\partial v}{\partial x}</math> com relação a x existem no ponto <math>(x_0,y_0)</math> e

<math display="block">\frac {\partial u}{\partial x} = a</math>
e
<math display="block">\frac {\partial v}{\partial x} = b</math>

O procedimento análogo pode ser feito observando quando <math>\Delta x = 0 (\Delta z = i \Delta y)</math> de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

<math display="block">\frac {\partial u}{\partial y} = -b</math>
e
<math display="block">\frac {\partial v}{\partial y} = a,</math> no ponto <math>(x_0,y_0)</math>

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

<math display="block">\frac {\partial u}{\partial x}=\frac {\partial v}{\partial y}</math>

<math display="block">\frac {\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x}</math>

Que são as [[Condições de Cauchy-Riemann]]. Como <math>f'(z) = a + i b,</math> chegamos à expressão <math>f'(z) =\frac {\partial u}{\partial x} + i \frac {\partial v}{\partial x} = \frac {\partial v}{\partial y}- i \frac {\partial u}{\partial y},</math> no ponto <math>(x_0,y_0).</math> Estabelece-se o Teorema:

'''Teorema.''' ''Se a derivada <math>f'(z)</math> de uma função <math>f = u + i v</math> existe num ponto <math>z,</math> então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a <math>x</math> e <math>y,</math> de cada componente <math>u</math> e <math>v</math> devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, <math>f'(z)</math> é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação <math>f'(z) =\frac {\partial u}{\partial x} + i \frac {\partial v}{\partial x} = \frac {\partial v}{\partial y}- i \frac {\partial u}{\partial y}.</math> ''

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* {{citar livro|nome=Lars|sobrenome=Ahlfors|autorlink=Lars Ahlfors|título= Complex Analysis (3ª ed)|editora=[[S&P Global|McGraw-Hill Book Company]]|ano=1979|local=|língua=inglês|url=|ref=harv}}

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