Mostrar código-fonte de Atlas (topologia)

Em [[matemática]], particularmente em [[topologia]], um '''atlas''' é um conceito utilizado para descrever uma [[variedade]]. Um atlas consiste em ''cartas'' individuais que, em termos gerais, descrevem regiões específicas da variedade. No geral, a noção de atlas é a base da definição formal de uma [[variedade]] e estruturas relacionadas, como fibrados vetoriais e outros fibrados. A variedade é a união das [[imagem (matemática)|imagens]] das cartas.

A definição de um atlas depende da noção de ''carta''. Uma '''carta''' para um [[espaço topológico]] ''M'' é um [[homeomorfismo]] <math>\varphi</math> de um [[subconjunto]] aberto ''U'' de ''M'' para um subconjunto aberto de um [[espaço euclidiano]]. A carta é tradicionalmente representada pelo par ordenado <math>(U, \varphi)</math>.<ref>{{cite book|title=Vektoranalysis|last1=Jänich|first1=Klaus|date=2005|publisher=Springer|isbn=3-540-23741-0|page=1|edition=5|lingua=de}}</ref>

Ao escolher um [[sistema de coordenadas]] no espaço euclidiano, define-se coordenadas em <math>U</math>: as coordenadas de um ponto <math>P</math> em <math>U</math> são dadas como as coordenadas de <math>\varphi(P).</math> O par formado por uma carta e tal sistema de coordenadas é chamado de '''sistema de coordenadas local''', '''cartas coordenadas'''. 

==Definição formal de atlas==

Um '''atlas''' para um [[espaço topológico]] <math>M</math> é uma [[família indexada]] <math>{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) : \alpha \in I}</math> de cartas em <math>M</math> que cobre <math>M</math> (ou seja, <math display="inline">\bigcup_{\alpha\in I} U_{\alpha} = M</math>). Se, para um valor fixo ''n'', a [[imagem (matemática)|imagem]] de cada carta for um subconjunto aberto de um espaço euclidiano ''n''-dimensional, então <math>M</math> é chamada de uma [[variedade]] ''n''-dimensional.

==Cartas==
A definição de um atlas depende da noção de ''carta''. Uma '''carta''' para um [[espaço topológico]] ''M'' é um [[homeomorfismo]] <math>\varphi</math> de um [[aberto]] ''U'' de ''M'' para um aberto de um [[espaço euclidiano]]. A carta é tradicionalmente representada pelo par ordenado <math>(U, \varphi)</math>.<ref>{{cite book |last1=Jänich |first1=Klaus |title=Vektoranalysis |date=2005 |publisher=Springer |isbn=3-540-23741-0 |page=1 |edition=5 |lingua=de}}</ref>

Quando um sistema de coordenadas é escolhido no espaço euclidiano, isso define coordenadas em <math>U</math>: as coordenadas de um ponto <math>P</math> em <math>U</math> são definidas como as coordenadas de <math>\varphi(P)</math>. O par formado por uma carta e tal sistema de coordenadas é chamado de '''sistema de coordenadas local''', '''cartas coordenadas''' ou '''referencial local'''.

==Mapas de transição== 
{{ Annotated image | caption=Dupla de cartas em uma variedade e seu respectivo '''mapa de transição''' | image=Two coordinate charts on a manifold.svg | image-width = 250 | annotations = {{Annotation|45|70|<math>M</math>}} {{Annotation|67|54|<math>U_\alpha</math>}} {{Annotation|187|66|<math>U_\beta</math>}} {{Annotation|42|100|<math>\varphi_\alpha</math>}} {{Annotation|183|117|<math>\varphi_\beta</math>}} {{Annotation|87|109|<math>\tau_{\alpha,\beta}</math>}} {{Annotation|90|145|<math>\tau_{\beta,\alpha}</math>}} {{Annotation|55|183|<math>\mathbf R^n</math>}} {{Annotation|145|183|<math>\mathbf R^n</math>}} }}

Um '''mapa de transição''' ou '''função de transição''' fornece um meio de comparar duas cartas de um atlas. Para realizar essa comparação, considera-se a composição de uma carta com a [[Função inversa|inversa]] da outra. Essa composição não está bem definida, a menos que ambas as cartas sejam restritas à interseção de seus [[Domínio de uma função|domínios]] de definição. (Por exemplo, se temos uma carta da Europa e uma carta da [[Rússia]], podemos comparar essas duas cartas em sua sobreposição, isto é, a parte europeia da Rússia.)

De maneira mais precisa, suponha que <math>(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math> e <math>(U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math> sejam duas cartas de uma variedade ''M'' tal que <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta}</math> não seja [[Conjunto vazio|vazio]]. O '''mapa de transição''' <math> \tau_{\alpha,\beta}: \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})</math> é definido como: <math display="block">\tau_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.</math>Note que, como <math>\varphi_{\alpha}</math> e <math>\varphi_{\beta}</math> são ambos homeomorfismos, o mapa de transição <math>\tau_{\alpha, \beta}</math> também é um homeomorfismo.

==Estrutura adicional== 
Frequentemente, deseja-se mais estrutura em uma variedade além da estrutura topológica. Por exemplo, se quisermos uma noção inequívoca de [[Derivada|diferenciação]] de funções em uma variedade, é necessário construir um atlas cujas funções de transição sejam [[Função diferenciável|diferenciáveis]]. Tal variedade é chamada de [[Variedade diferenciável|diferenciável]]. Dada uma variedade diferenciável, é possível definir de forma inequívoca a noção de vetores tangentes e, a partir disso, derivadas direcionais.

Se cada função de transição for uma [[Função suave|função suave]], o atlas é chamado de atlas suave, e a variedade em si é chamada de [[Variedade diferenciável#Definição|suave]]. Alternativamente, pode-se exigir que os mapas de transição tenham apenas ''k'' derivadas contínuas, caso em que o atlas é dito ser <math>C^k</math>.

De maneira mais geral, se cada função de transição pertencer a um pseudogrupo <math>\mathcal{G}</math> de homeomorfismos do espaço euclidiano, o atlas é chamado de <math>\mathcal{G}</math>-atlas. Se os mapas de transição entre as cartas de um atlas preservarem uma trivialização local, então o atlas define a estrutura de um fibrado.

==Referências== 
{{reflist}}
[[Categoria:Topologia (matemática)]]