Atlas (topologia)

Em matemática, particularmente em topologia, um atlas é um conceito utilizado para descrever uma variedade. Um atlas consiste em cartas individuais que, em termos gerais, descrevem regiões específicas da variedade. No geral, a noção de atlas é a base da definição formal de uma variedade e estruturas relacionadas, como fibrados vetoriais e outros fibrados. A variedade é a união das imagens das cartas.

A definição de um atlas depende da noção de carta. Uma carta para um espaço topológico M é um homeomorfismo $\phi$ de um subconjunto aberto U de M para um subconjunto aberto de um espaço euclidiano. A carta é tradicionalmente representada pelo par ordenado $(U,\phi )$.

Ao escolher um sistema de coordenadas no espaço euclidiano, define-se coordenadas em $U$: as coordenadas de um ponto $P$ em $U$ são dadas como as coordenadas de $\phi (P).$ O par formado por uma carta e tal sistema de coordenadas é chamado de sistema de coordenadas local, cartas coordenadas.

Definição formal de atlas

Um atlas para um espaço topológico $M$ é uma família indexada $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }):\alpha \in I$ de cartas em $M$ que cobre $M$ (ou seja, $\bigcup _{\alpha \in I}{U}_{\alpha }=M$). Se, para um valor fixo n, a imagem de cada carta for um subconjunto aberto de um espaço euclidiano n-dimensional, então $M$ é chamada de uma variedade n-dimensional.

Cartas

A definição de um atlas depende da noção de carta. Uma carta para um espaço topológico M é um homeomorfismo $\phi$ de um aberto U de M para um aberto de um espaço euclidiano. A carta é tradicionalmente representada pelo par ordenado $(U,\phi )$.

Quando um sistema de coordenadas é escolhido no espaço euclidiano, isso define coordenadas em $U$: as coordenadas de um ponto $P$ em $U$ são definidas como as coordenadas de $\phi (P)$. O par formado por uma carta e tal sistema de coordenadas é chamado de sistema de coordenadas local, cartas coordenadas ou referencial local.

Mapas de transição

Um mapa de transição ou função de transição fornece um meio de comparar duas cartas de um atlas. Para realizar essa comparação, considera-se a composição de uma carta com a inversa da outra. Essa composição não está bem definida, a menos que ambas as cartas sejam restritas à interseção de seus domínios de definição. (Por exemplo, se temos uma carta da Europa e uma carta da Rússia, podemos comparar essas duas cartas em sua sobreposição, isto é, a parte europeia da Rússia.)

De maneira mais precisa, suponha que $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ e $(U_{\beta },{\phi }_{\beta })$ sejam duas cartas de uma variedade M tal que $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ não seja vazio. O mapa de transição ${\tau }_{\alpha ,\beta }:{\phi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to {\phi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ é definido como: $${\tau }_{\alpha ,\beta }={\phi }_{\beta }\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}.$$Note que, como ${\phi }_{\alpha }$ e ${\phi }_{\beta }$ são ambos homeomorfismos, o mapa de transição ${\tau }_{\alpha ,\beta }$ também é um homeomorfismo.

Estrutura adicional

Frequentemente, deseja-se mais estrutura em uma variedade além da estrutura topológica. Por exemplo, se quisermos uma noção inequívoca de diferenciação de funções em uma variedade, é necessário construir um atlas cujas funções de transição sejam diferenciáveis. Tal variedade é chamada de diferenciável. Dada uma variedade diferenciável, é possível definir de forma inequívoca a noção de vetores tangentes e, a partir disso, derivadas direcionais.

Se cada função de transição for uma função suave, o atlas é chamado de atlas suave, e a variedade em si é chamada de suave. Alternativamente, pode-se exigir que os mapas de transição tenham apenas k derivadas contínuas, caso em que o atlas é dito ser $C^k$.

De maneira mais geral, se cada função de transição pertencer a um pseudogrupo $𝒢$ de homeomorfismos do espaço euclidiano, o atlas é chamado de $𝒢$-atlas. Se os mapas de transição entre as cartas de um atlas preservarem uma trivialização local, então o atlas define a estrutura de um fibrado.